证明：将上述不等式变形为 < <
由此启发我们在区间 上考虑函数 ，其拉格朗日中值公式为
其中 ，显然有< <，由此即可推出欲证之不等式。
3． 讨论函数的零点
（1）如果 在区间[ ]上满足罗尔定理的条件，则可由罗尔定理证明 在 内存在零点。
例5．设 不求导证明 恰有三个实根。
证明：因可微且 
由罗尔定理知，存在 < < < < < < 使得
 ，
即至少有三个实根。又因是三次多项式，它至多有三个实根，故恰有三个实根。
（2）若存在 在[]上满足罗尔定理的条件，则可证明在 内有根。论文参考网。
例6．求证：方程 为常数，且 > ）在 内至少有一个实根。
证明：令  ，即要证在内至少有一个实根。是 的导函数，即 又 对 利用罗尔定理得，存在 ，使得 ，即在至少有一个实根。
以上三点是笔者在教学微分中值定理时的三点做法，主要目的是使学生理解三个中值定理并掌握其基本应用，不当之处敬请同行指正，以期在今后的教学中提高认识，达到更好的效果。
参考书目：
1．同济大学应用数学系 高等数学（第五版） 北京：高等教育出版社，2002
2．陈文灯 黄先开 数学复习指南（理工类）北京：世界图书出版公司，2002
3．周建莹 李正元 高等数学解题指南 北京：北京大学出版社，2002
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