通过此例的讲解，将三个定理用一条曲线串在一起，其内在联系清晰明了，体现了中值定理形式本身的高度统一。
二、两种方法穿插其间
拉格朗日中值定理的证明需要构造辅助函数，这也是证明命题：“至少存在一点 使得 ”的关键。因此在讲解该定理时笔者同时说明了构造辅助函数的两种方法。
1． 原函数法 其步骤为：
（1）将欲证结论中的 变为 ；
（2）通过恒等变形将结论化为容易消除导数符号的形式（或称之为易积分形式）；
（3）用观察法或积分法求出原函数，为了简便积分常数取为零；
（4）移项使等式一边为零；另一边即为所求辅助函数 。
拉格朗日中值定理证明中用该法构造辅助函数分析如下：
  ，
则辅助函数
2．常数 值法 其步骤为：
（1）分离命题中之常数，令常数部分为；
（2）恒等变形，使等式一端为 及 所构成的代数式，另一端为 及 所构成的代数式；
（3）分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只要把端点 改为，相应的函数值 改为 ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数。
拉格朗日中值定理证明中构造辅助函数分析如下：
令
则辅助函数
下面是这两种方法的使用示例。
例1．函数 在[ ]上连续，在（）内可导，证明在（）内至少存在一点，使 。
分析：将原式变形为 ，令 则有
 ，即 ，所以可取辅助函数 ，利用罗尔定理证明。
证明：取，在[]上连续，在（）内可导且 ，由罗尔定理知至少存在一点 使 ，即
例2．函数 在[]上连续，在（）内可导，试证： 使得
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