用定义研究数学分析中的极限问题

存在，那么这个极限值称为函数在点的导数.并且说，函数在点处可导，记作，即.

如果极限不存在，则函数在点处不可导.

如果固定，令，则当时，有，故函数在点处的导数也可表示为

.

2.举例分析：

例4 已知在点a处可导，求.

解： 在点a处可导，由导数定义，数列极限与函数极限的关系（海涅定理）可得.

例5 设在a可导，且.求极限.

解：由已知导数定义及数列极限与函数极限关系得

=

== .

例6 设，求.

解：常规作法，则先求出在处的函数值并化简极限式，再由罗必达法则求解，但注意到（初等函数）及导数定义，则有：

= 令

=.

从以上例子可以看出运用导数的定义可以巧妙地解决几种常见的极限问题，起到了很好的效果.

5.用定积分的定义分析有关极限问题

1.定义：设函数在区间上有定义，在区间中任取分点，将区间分成n个小区间，记，． 再在每个小区间上任取一点，作乘积的和式，若当（即）时上述和式的极限存在（即这个极限值与区间的分法无关及与点的取法无关，），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，即 (a).

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