论文摘要：受曹广福教授和Josepha.Cima教授的文章的启发，研究多圆盘上Bergman空间中具有无界符号的Toeplitz算子的有界性、紧性。
论文关键词：算子,无界函数,空间
一、引言
记D是复平面内的单位圆盘，T是单位圆周，对确定的正整数n， 分别是n个D，T的笛卡尔积，不难证明 是 的Shilov边界［8，9］， 表示的拓扑边界，本文所涉及的边界问题只考虑Shilov边界。 表示Bergman空间，在上关于正规化的Lebesgue面积测度dA是平方可积的，且在上是解析的函数空间。对 ，用 表示上以f为符号的Toeplitz算子，其定义如下： 其中P表示 上的正交投影，此算子是稠密定义的。在［1］中，曹广福教授在单位球上构造了一类无界函数，使以之为符号的Toeplitz算子是紧的，并且，构造了在单位球的每个边界点的任意领域上的无界函数，以其为符号的Toeplitz算子是trace类算子。在［2］中Axler刻画了D上的有界符号诱导出Toeplitz算子在Bergman空间上何时是紧的。在［3］中，Grudsky和Vasilevski证明了以径向函数为符号的Toeplitz算子在上是有界（或紧）的，当且仅当序列 。在［5］中Josepha.Cima研究了在单位圆盘上Bergman空间中以无界函数为符号的Toeplitz算子的紧性问题。
二、有界性
本部分在多圆盘上构造满足一定增长条件的无界函数.首先在的子域上构造特定的类型使得这些无界函数在 的正测度集上"膨胀"，但其相应的Toeplitz算子仍是有界的，或紧的。设“锥点”域 其中m,b的值视研究的具体情况而定。对上的任意点 ，设 是 在旋转，再“膨胀”，使得对某个 ，满足 且 .设序列 恰好是某个Cantor集的顶点。首先在[0,1]区间构造Cantor集，去掉中间长度为 的部分 ，在剩下的两个不相交的区间中再分别去掉长度为 的中间部分，依次重复这个过程..此过程在[0,1]上产生一个紧的正测度集A，对A作n个笛卡尔积，设 ，通过函数 ，把M映射到，且 是顶点的像.因此，每个在达到，且可选择 使得它们是不相交的。设 ,考虑一个可测函数H(z)满足 其中0，使得对每个球 （以为球心，r为半径），及任意r值，有
 。定义  是 的特征函数，显然h在每个点趋向无穷大.又因为中的Cantor集的其它点是顶点的极限点，所以h在的Cantor集的其它点也趋向无穷大.因此，得出结论：在的正测集上，h为无穷大.易证当 时，选择适当的b与 ，可使 下面讨论Toeplitz算子 的有界性。
定理1.1:设H(z)是上具有增长速度为 的可测函数，其中0，对上的任意Cantor集,其顶点 ，存在 与不相交集，为集合
 在旋转而得，且 有限，使得若，则符号 诱导上的一个有界Toeplitz算子。特别地，当取b=2c+5, 时，结论成立.
证明：对 ，
对每个i,
  
若对某一满足b-2c-3>0的常数c,则
取b=2c+5,上式级数收敛，所以在上有界。.因此，即使符号在的正测度集上趋于无穷，仍可以得到有界的Toeplitz算子。
三、紧性
定理1.2:设h与 如定理1.1中所设，则选取合适的b与 值时，可使为上的紧算子。
证明:选取序列 满足 且 在的紧子集上一致收敛到0，我们将证明，当 时， 。再选取序列 使得 设 ，选定J，则可找到正整数N使得对任意 ， 且对 ，有 .考察   
现估算 与 ，对任意n>N，
对,运用Cachy-Schwarz不等式，则
若取b=2c+4，则由已知假设得右边的级数收敛，的和小于 的常数倍。
所以，当时， 故是紧的。
参考文献
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3 S.GRUDSKY,N.VASILEVSKI.Bergman-Toeplitz operators:Radial compact influence,Integral Equations operator Theory [J].2001,40:16-33
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9 李炳仁。Banach代数,科学出版社[M].1992
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