论文导读：科学发展观是中国特色社会主义理论体系的重要组成部分，人与自然和谐相处是其一个重要观点。科学的主要任务是实现人对自然的“和谐”认识，数学作为科学的本质，对科学发展观有不可替代的“文化”贡献。
关键词：和谐，实验数学方法，数学危机
“人与自然和谐相处”是科学发展观理论体系的重要组成部分[1]。对客观世界科学真理的认识是实现人与自然和谐相处的基础。个体生活在一个生态系统中，个体生存的实质就是与它相处的环境之间进行能量交换过程。目前，地球上的资源是世界人口生存和发展的惟一来源。“21世纪，中国的发展进程不可避免地遭遇到如下的6大基本挑战：人口三大高峰（即人口总量高峰、就业人口总量高峰、老龄人口总量高峰）相继来临的压力；能源和自然资源的超常规利用；加速整体生态环境“倒U型曲线”的右侧逆转：实施城市化战略的巨大压力；缩小区域间发展差距并逐步解决三农问题；国家可持续发展的能力建设和国际竞争力的培育[1]”。为构建中国特色的社会主义和谐社会，科学技术是第一生产力，必须充分利用科学技术的力量。数学作为“科学的本质[2]”，我们来考察一下数学对科学发展观的“文化”贡献。
首先，数学是实现人对自然“和谐”认识的起点和归宿。因为实验――数学方法是科学的方法论，只有在这个科学方法论的指导下近现代科学才取得了巨大的成就。对客观世界的科学描绘，简洁的语言就是数学语言。作为一种科学语言，数学表现在它的概念、公式、方程和模型能够言简意赅地表示出科学真理的内容，它的法则、定理和理论借助逻辑推理法则还能反映科学真理之间的因果关系。早在古代，希腊的毕达哥拉斯学派就认为万物皆数（“把数看作是真实物质对象的终极组成部分”[3]）。毕达哥拉斯学派不自觉地把数学作为人类“和谐”认识自然的起点。由于毕达哥拉斯学派的影响，数学甚至带上了浓重的神秘色彩。而且早期的数学还是孤立的，表现在数学两大研究对象数与形之间的孤立，算术方法与几何方法相分离，数学与其它自然科学也是分开的。科学家伽利略意识到数量关系是客观事物性质的重要形态，他在《黄金的检验者》一书中说到“如果没有掌握自然界的数学语言，自然界这本大书就不可能理解[4]”。伽利略还意识到实验与理论之间的辩证关系。实验（理想实验）是科学研究的起点，同时又是科学研究的检验标准。理论的作用能够从一些基本原理出发推断出新的发现、新的事实和新的结论。“他坚决反对两种倾向，一是中世纪盛行的纯理性推演；另一是古代科学中的直觉主义。认为，前者脱离了感觉和经验，使科学陷入纯思辩，并成为神学的婢女，后者容易使我们的感觉受到蒙蔽，不能正确地认识和把握对象和事物[4]”。自从伽利略以后，大科学家们自觉地把数学看成获得对自然“和谐”认识的归宿。《自然哲学的数学原理》是牛顿写就的一本划时代的著作，牛顿在这部书中，站在前人科研成果尤其是哥白尼、伽利略和开普勒工作的基础上，运用他所创立的微积分，用数学方法发现了万有引力定律，最终确立了完整而严密的经典力学体系，实现了物理学历史上的第一次大的综合。麦克斯韦方程组由物理学家麦克斯韦给出的，不仅预见了当时尚未发现的电磁波存在性，推断出电磁波速度等于光速，并断言光就是一种电磁波。麦克斯韦创立了电磁系统的数学理论，把光、电、磁统一起来，实现了物理学上重大的理论结合和飞跃。难能可贵的是爱因斯坦克服了相对性原理和光速不变性原理表面上不相容性矛盾，运用公理化的数学方法，在创立狭义相对论的过程中，能够后来居上，成为最大的成功者。相对论变革了牛顿以来所形成的时空观，揭开了时间和空间的统一性和相对性，建立了新的时空观，推动了科学发展进程，成为现代物理学的一个基本理论。目前，数学上经典力学有三种等价的表现形式，即牛顿力学体系形式、拉格朗日力学体系形式和哈密顿力学体系形式。“这些不同数学形式陈述同一物理定律，由于形式不同，它们在实践中对解决问题提供不同的途径，因此等价的数学形式在实践中可能是不等价的[5]”。特别是哈密顿形式，一是比牛顿形式有更广泛的普适性，凡是一切真实的、损耗可忽略不计的物理过程，诸如经典的、相对论的和量子性的各种场合，都可以用哈密顿形式来描述。发表论文。二是哈密顿形式从数学上讲形式比较对称，运动定律在其之下表现得很明显。始于1834年哈密顿系统的科学探索活动目前仍是如火如荼的展开[5, 6]。
其次，数学是永恒的，其本身是认识“和谐”的典范。根据唯心主义哲学家休谟的观点，人类理性的一切对象分为两类：一是观念的关系，二是实际的事情。人类理性的第二类对象――实际的事情，就它们的真实性不论如何明确而言，各种事实的反面总是可能的。“太阳明天不出来”的这个命题和“太阳明天要出来”的这个断言是一样可以理解，一样不矛盾的。人们无论如何不能解证出前一个命题的虚妄来的。对于实际的事情的一切理论，休谟认为似乎都建立在因果关系上。在事实和由此推得的事实之间，必然有一种联系，而所下的推论是在因果关系上建立着的。结果和它的原因是不一样的事情，一开始时结果不能从其原因中发现出来，人们先验的、想象的、造作的结果一定是任意的。就推论而言，推论可以分为两类，一种是解证的，涉及各种观念的关系；一种是或然的，涉及实际的事情，依赖过去的经验并以此作为将来判断的标准。数学科学属于人类理性对象第一类。命题“直角三角形的弦的平方等于直角边的平方和”就是表示观念之间关系的一种命题。这类命题，只凭思想的作用，就可以被发现，并不需要依据于其它存在的任何东西。数学还假设自然在各种活动中是建立了一些法则，并且运用抽象的推论来帮助经验把这些法则发现出来，或者在特殊的情况下来决定那些法则的影响的。自然中纵然没有一个圆或者三角形，欧几里得所解证出来的真理也永远保持其确实性和明白性[7]。这说明数学是一种和谐的认识。数学还是一种不断走向“和谐”的模式。在数学发展早期，当人们刚刚脱离自然数概念逐渐形成有理数概念，学会用两个自然数表示一个有理数的时候，公元前五世纪的古希腊人希帕索斯发现了几何图形等腰直角三角形的直角边长是1情况下，斜边长不可能是有理数，导致了数学上第一次危机。尔后无理数的大量发现使人们逐渐认可了无理数，并且还引起了一场数学思想的革命，促使人们实现从依靠直觉、经验转向依靠证明的转变。直到19世纪，数学家提出用有理数的极限方法表示无理数才实现无理数的和谐。数学史上把微积分创立以来到19世纪实数理论创立之前在数学上的混乱局面称为数学上的第二次危机，当时微积分建立在含糊不清的无穷小概念上，没有一个牢固的基础。柯西、维尔斯特拉斯的极限的算术理论，戴德金、康托的实数理论，它们一起实现了微积分理论的和谐。数学家康托创立了集合论，是数学上最具革命性的理论，试图为整个数学大厦奠定基石。1902年数学家罗素发现了罗素悖论，罗素悖论的出现导致了第三次数学危机，让人怀疑数学演绎推理方法正确性，动摇了数学基础，是对“数学真理是绝对真理”的这一观念的直接冲击。为解决数学第三次危机，数学家们进行了不懈的努力。目前，尽管集合论的和谐还没有完全实现，但是对数学基础问题如何有效重建，数学家们在数学基础研究中形成了不同的流派，有逻辑主义派，直觉主义派，形式公理学派，他们的工作对数学的发展都有贡献的。
另外，数学的思想方法还是发现“和谐”认识的重要方法。科学的任务是发现自然界结构，并把它在演绎系统里表达出来[8]。数学的演绎推理方法在前提条件正确下会给出绝对肯定的结果[9]。譬如，公理化的数学方法是数学上重要方法，也是重要的科学方法。公元前3世纪左右，古希腊逻辑学家亚里斯多德(公元前384－公元前322)总结了古代积累起来的逻辑知识，把完全三段论作为公理，由此导出了其它的三段论法。亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统[10]。发表论文。在著作《几何原本》里，欧几里得从5条公设5条公理出发，演绎推导出当时所知的几何知识。《几何原本》的演绎体系是历史上第一个数学公理体系[11]。由于欧几里得第五公设的特殊性，自公元前3世纪起到19世纪初，试图给出第五公设的直接证明，数学家尝试了各种方法，都摆脱不了失败的结局。罗巴切夫斯基总结前人和自己的经验，认为第五公设独立于其余的几何公理不能作为定理加以证明，而且还可以存在第五公设不成立的新的几何体系。他还用公理化的方法，发现了非欧几何学。尽管非欧几何中命题与人们朴素的直观不符，但是非欧几何在逻辑系统内没有矛盾，演绎推理又是严密的，非欧几何应当是真理的一部分。非欧几何的发现是人类认识史上一个富有创造性的壮举，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，以致19世纪和20世纪的数学当然属于一个特殊的时期[12]，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。非欧几何发现以后，一些重大的科学理论是靠公理化方法获得的。例如，1899年出版的希尔伯特《几何基础》是公理化方法的代表作，1905年爱因斯坦用公理化方法创立了狭义相对论，1933年科尔莫哥洛夫建立了概率论的公理化理论体系。“科学一旦从它的原始阶段脱胎出来以后，仅仅靠着排列的过程已不能使理论获得进展。发表论文。由经验材料作为引导，研究者宁愿提出一种思想体系，它一般地是在逻辑上从少数几个所谓的公理的基本假定建立起来的[13]”。目前，公理化方法已是科学工作者探索自然奥妙，发现“和谐”认识的一种科学方法了。
参考文献：
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[7]休谟(关文运译),人类理解研究，北京：商务印书馆,1957,24-38.
[8]莫里哀×克莱因.古今数学思想(第一册).[M]上海:上海科学技术出版社,2009,52.
[9]莫里哀×克莱因.古今数学思想(第一册).[M]上海:上海科学技术出版社,2009,52.
[10]徐利治.徐利治谈数学方法论[M].大连:大连理工大学出版社,2008,52.
[11]李文林.数学珍宝:历史文献精选[M].北京:科学出版社,2003,143.
[12]《数学百科全书》编译委员会,数学百科全书,第三卷[M].科学出版社,1997,665.
[13]爱因斯坦(许良英,范岱年编译).理论和实验－《狭义与广义相对论浅说》.爱因斯坦文集第一卷[M],,商务印书馆出版,1976,115.
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