论文摘要：利用Banach压缩映射原理讨论非线性分数阶微分方程边值问题
论文关键词：压缩映射原理,格林函数,边值问题,微分
0引言：
分数阶微分方程在不同的科学领域起着越来越重要的作用。例如在扩散和运输理论、高分子材料的解链、弹性梁等诸多领域得以应用。近年来,有许多学者在分数阶微分方程领域取得了不少的成果.
本文受到文献[5]的启发,利用Banach压缩映射原理讨论下面含参数分数阶微分方程边值问题
解的存在性及唯一性，其中 是一个实数，并且 是Caputo型微分。并假设 是连续的。
1预备知识
为了方便证明，直接给出分数阶微分方程的定义和基本定理。
定义1.1：函数y： 的 阶Caputo型微分定义如下：
 0
定义1.2：函数y：的阶Riemann—liouville型分数阶积分定义如下：
引理1.1：令 ，那么分数阶微分方程 有解
其中
引理1.2：令，则有
其中0
由引理1.1，引理1.2可得下面的引理。
引理1.3：给定 ，且，则分数阶微分方程
的唯一解是 ，其中
 （2）
引理1.4：通过（2）定义的格林函数 有如下性质：
（R1） ，而且对 ，有 ；
（R2）0
令 ，其范数 ，可知（X, ）是Banach空间。
在本文中做以下假设：
（H1）存在常数 ，使得
考虑
定义算子T： 为： ，则分数阶微分方程问题（1）有解，等价于算子方程 有不动点。
定理1.1（Banach压缩映射原理）设D是Banach空间X中的一个非空闭子集，而T：0，且T在D内满足Lipschitz条件，即对任意的 ，有 ，则必存在唯一的 ，使 。
2主要结果
定理2.1如果假设H1成立，且 ，
那么边值问题（1）存在唯一解。
证明：令 ，
定义空间 ，
由（H1），对 ，有 .
则
 
所以T： ，对 ,有
 
因为 ,所以T是压缩映射，于是存在唯一的 ，即边值问题（1）存在唯一正解。
参考文献
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