摘要:讨论了一类矩阵扩充问题,给出了其有解的充分必要条件及在有解条件下的通解表达式。
论文关键词:矩阵扩充,广义奇异值分解,最佳逼近
令表示所有阶实矩阵组成的集合, 表示所有阶正交矩阵集合;表示阶单位矩阵;表示矩阵的范数;分别表示矩阵和逆.
本文讨论如下问题:
问题 给定,求,使得
其中为问题的解集.
特别地,当
,则问题I,II转化为子矩阵约束下矩阵左右逆特征值问题[1];矩阵扩充问题亦称子矩阵约束下矩阵方程问题[2,4] .
2.问题有解的条件及通解表达式
引理1[4] 设,,,,,,若分别有如下奇异值分解如下
,
其中,
,, ,,,
则问题的通解为
(2.1)
其中
作者简介:熊培银(1980.1), 男,安徽省泗县人,仰恩大学数学系,助教,研究方向:数值代数
Email:xiongpeiyin@126.com ,Tel:
(2.2)
令,将矩阵对进行如下广义奇异值分解[10]
(2.3)
其中是非奇异的矩阵,,
,
,
令 (2.4)
(2.5)
则有如下定理
定理1已知,则问题I有解的充分必要条件为
(2.6)
通解表达式如下
(2.7)
证明:根据定理1 有
(2.8)
由(2.3)可得
令
则有 (2.9)
故(2.3)有解即问题I有解的充要条件为(2.6),且
(2.10) (2.11)
将(2.11)代入(2.4)可得问题I的解.
参考文献
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[2] C.de Boor and G.H.Golub,The Numeral stable Reconstruction of a Jacobi matrix from Spectral Data, Linear Algebra and Its Applications, 1987 21:245-260 .
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