摘要：讨论了一类矩阵扩充问题，给出了其有解的充分必要条件及在有解条件下的通解表达式。
论文关键词：矩阵扩充,广义奇异值分解,最佳逼近
令 表示所有 阶实矩阵组成的集合，  表示所有 阶正交矩阵集合； 表示 阶单位矩阵； 表示矩阵的 范数； 分别表示矩阵和 逆.
本文讨论如下问题：
问题 给定 ，求 ，使得
其中 为问题 的解集.
特别地，当
 ，则问题I，II转化为子矩阵约束下矩阵左右逆特征值问题[1]；矩阵扩充问题亦称子矩阵约束下矩阵方程问题[2,4] .
2．问题有解的条件及通解表达式
引理1[4] 设 ， ， ， ， ， ，若 分别有如下奇异值分解如下
 ， 
其中 ,
  ， ， ， ， ，
则问题 的通解为
 （2.1）
其中
作者简介：熊培银（1980.1）， 男，安徽省泗县人，仰恩大学数学系，助教，研究方向：数值代数
Email：xiongpeiyin@126.com ,Tel:
 （2.2）
令 ，将矩阵对 进行如下广义奇异值分解[10]
  （2.3）
其中 是非奇异的 矩阵， ，
 ， 
  ，
 令  （2.4）
 （2.5）
则有如下定理
定理1已知 ，则问题I有解的充分必要条件为
 （2.6）
通解表达式如下
 （2.7）
证明：根据定理1 有
 （2.8）
由（2.3）可得 
令 
则有  （2.9）
故（2.3）有解即问题I有解的充要条件为（2.6），且
 （2.10） （2.11）
将（2.11）代入（2.4）可得问题I的解.
参考文献
[1] 戴华.线性流行上矩阵最佳逼近，高校应用数学学报（A辑）1994 3（9）：312-340.
[2] C.de Boor and G.H.Golub,The Numeral stable Reconstruction of a Jacobi matrix from Spectral Data, Linear Algebra and Its Applications, 1987 21:245-260 .
[3] 彭振赟.几类约束矩阵方程问题和几类矩阵方程扩充问题.湖南：湖南大学数学与计
量经济学院,2003.
[4] 周树荃,戴华.代数特征值反问题，河南科技大学出版社， 河南 1991.
[5] 张磊，谢冬秀.一类逆特征值问题，数学物理学报，1993，23（1）：94-99.
|
