摘要：本文在《数学分析》（华东师大版）所叙述的第一、第二积分中值定理和前人对积分中值定理所作的改进的基础上，进一步把定理中的条件进行加强，从而得到一个更精细的定理，并分别从四个方面阐述了积分中值定理的应用。
论文关键词：积分中值定理,函数,连续,单调,区间
中占有重要的地位。
一、 积分中值定理的叙述
定理 ：（推广的积分第一中值定理）
若函数 与 在闭区间 上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点 ，使 。特别地，当g(x)=1时有
定理 ：（积分第二中值定理）
若函数在在区间非负单调递减，为可积函数，则存在  。
定理 ：若在上  且单调递增， 为可积函数, 则存在 .
定理 （推论）：若在上为单调函数，为可积函数，则存在  。
二、 积分中值定理的改进
 将第一中值定理进行改进和加强得到：
定理 ：若函数在闭区间 上连续，在上连续且不变号，则在 内至少存在一点，使。特别地，当=1时有，
现在我们在此基础上将定理5中的条件进行加强，从而得到：
定理6：若函数在闭区间上严格单调且连续，而在上可积不变号，则在 内存在唯一一点，使。特别地，当=1时有
证明：在区间中作映射T： = + ，不妨设严格单调递增（严格单调递减的情况可类似证明），则    < < ,那么  C,从而T是到自身的映 。又对于 ，有：
因为在上严格单调递增，所以 ，故必存在一个数 ，使得 成立。因此有：
 =  ，
从而T是到自身的压缩映像，由Banach不动点原 ，存在唯一一点 ，即
 
从而得，定理得证。
三、 积分中值定理的应用
１. 在具有某些性质的点的存在问题中的应用
在积分学的学习过程中，有关定积分具有某些性质的点的存在问题的论证是一个难点。一般，我们应仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等途径来证明有关问题。
例1 若函数在闭区间上连续，且 ，证明：
在内至少存在两点 。
在 中已用Rolle定理给出了一个证明，而本文将利用积分中值定理来证明。
分析：很明显=0在闭区间上至少存在一个根，那么我们采用反证法，即证=0在上不可能只存在唯一的一个根。利用积分中值定理推出矛盾，从而证明命题。
证明一： 由 ，即=0至少存在一个根。
假设在内=0只有一个根，则由有：
 （1）
因为 与在 及 连续，且由假设知在 及 上不变号。
由定理5得：存在 使得
而 ，于是我们得到 ，这与 矛盾。即证在内至少存在两点。
证明二：假设在内=0只有一个根，由 知f(x)在 内异号。设在 ，而 =为单调递增函数，所以
 这与矛盾。
例2 设函数二次可微，且 严格单调，证明：在内存在唯一的一点 ，使得 。
在 中有一个类似的例题，联想到定理6，本文的将其中的条件作减弱，将“具有二阶连续导数”改为“二次可微”，然后利用定理6给予证明。
分析：由题目的条件和结论，我们首先想到将在= 处用Taylor公式展开，然后对展开式的两边在区间上同时积分，然后利用积分中值定理和定理6推出结论。
证明：令 =，在= 处用Taylor公式展开得：
 ，其中 介于 与 之间。
即  （２）
对（２）式两边在区间上同时积分得
 （3）
其中 。而|ke
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