论文摘要：分析了高等数学中的图形图像处理、数值计算及实验数据处理等典型问题的教学特点，给出了应用Mathematica软件辅助高等数学教学的几个典型案例，并采用Mathematica分别实现了以上典型问题的解答。
论文关键词：高等数学,绘图,计算,数学应用
高等数学是高等教育阶段一门重要基础课，由于其严密的逻辑性，高度的抽象性，不少同学感到枯燥无味，只能被动接受。在数学软件发展成熟的今天，适时地进行教学改革，运用现代信息技术，使传统的高等数学教学内容及方法更好适合学情与培养要求，已势在必行。本文通过在高等数学教学及解决实际问题中使用Mathematica软件辅助教学过程的几个典型案例来加以说明。
1、利用数学软件辅助图像处理来提高教学效果
1.1、利用数学软件，理解抽象内容
在高等数学中很多内容都比较抽象，学生理解起来比较困难，而借助直观的几何图形，可以使抽象的数学式子与直观形象的图形之间建立有效的联系，增强学生对所学知识的理解、记忆和深化。
案例1：设函数 ，试用动画显示其麦克劳林级数逼近它的过程。
解：记
所以，可逐步增加 值，实现多项式逼近函数的过程。为方便观察，将 与 的图形画在一张图中，并用不同颜色显示，程序如下：
f1[x_]:=Sin[x]
f2[x_,m_]:=Sum[(-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1)!,{k,1,m}]
Do[
Plot[{f1[x],f2[x,m]},{x,0,8*p},PlotRange®{-2,2},PlotStyle®{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{m,1,30}]
图1
运行上述程序后，屏幕显示了30幅图，图1是其中第一幅图。选定所用图形，按下Ctrl+Y，就可观察到多项式随的增大逐步逼近函数的过程。在传统的课堂教学中，函数逼近的内容很难讲清楚，而Mathematica对此做出直观生动的解释和模拟，使抽象的内容可视化，学生迅速形成感知，一目了然，对函数的幂级数逼近有更直观、更深刻的理解，达到好的教学效果。
1.2、利用数学软件，验证结论的正误，推动知识的深化
高等数学中的不少知识比较抽象，推导都比较复杂，学生理解起来有一定困难，通过Mathematica强大的计算和绘图功能，可轻易得到正确的结果，便于对理论学习的验证和教学内容的完善。
案例2：验证拉格朗日中值定理对函数 在区间 上的正确性。
用作图命令画出 的曲线：
Clear[f,x]
f[x_]:=4*x^3-5*x^2+x-2
Plot[f[x],{x,0,1}]
考查图2可以发现它的几个显著特点：
图2
（1）在区间上连续；
（2）在 上曲线光滑（即可导）；
（3）
图2提高了教学内容的可视性，增强教学的直观性，深化了学生对定理的认识。我们还可以用符号运算中的Solve命令求出满足拉格朗日中值定理的两个横坐标的值，进一步验证命题的科学性。
高等数学中也有不少错误的命题、结论常让学生困惑，在一元函数微分学中，已知道无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量，很多同学受到误导，想当然认为“无穷大量与有界变量的乘积也是无穷大量”。给出下面的反例，利用Mathematica软件作图，使学生的观念由似是而非到清晰正确。
案例3：函数 在 是否有界？又问当 时这个函数是否为无穷大？为什么？
在Mathematica的Notebook界面输入作图命令，得到图2。
图3
观察图3可知，随着 的增大，总有这样的 ，使相应的绝对值充分大，函数在无穷远处无限振荡。因此，在有界，当时函数不是无穷大。学生从直观图形中获得感性认识，加深了对知识的理解和体验，发展了研究性思维能力。
1.3、利用数学软件，培养空间想象能力
学生学习“重积分、曲线积分、曲面积分”等方面的问题，因涉及到许多立体曲面、曲线等，学生往往很难画出这些复杂图形的直观图，进而影响他们对问题的解决，挫伤他们学习的积极性。用Mathematica数学软件，可以绘制出精美的三维图形，化抽象为形象，化枯燥为生动，并有效地加强几何直观性，加强立体感知，使学生搭建起空间思维的模型，这对形成空间想象能力很有好处
案例4：画出函数 的图形。
输入：Plot3D[x^2*y/(x^2+y^2),{x,-1,1},{y,-1,1},PlotPoints®30]，输出的结果如图3所示。
图4
利用三维图形可方便地使学生建立空间想象，必然为学习“重积分、曲线积分、曲面积分”等方面的内容扫除障碍，给传统的教学注入了活力。
2、利用数学软件辅助复杂计算，激发学生学习的兴趣
数学模型建立以后，需要求解与选择数值算法，但是数值计算在理论上算法多、公式多、计算量大，且计算枯燥、繁琐，十分影响学习兴趣。 1/2 1 2 下一页 尾页 |
