定义3.4 子式=（i=1,2,…，n）称为矩阵=，(i,j=1,2,…，n)的顺序主子式．
定理 3.3实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零．
证明 (1)必要性
实对称矩阵正定，则二次型f(,,…，)==是正定的，对于每一个k,1kn,令（,,…，）=，我们来证是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数，，…，有（，，…，）=（，，…，，0，…,0）>0,因此，是一个k元正定二次型.由定理3.2推论1得，的矩阵行列式 >0,（k=1,2,…,n）.
(2) 充分性
对n作数学归纳法
当n=1时，f()=,由条件>0，显然f()是正定的．
假定此论断对n-1元二次型成立，下证n元的情形
令= ，=，则=
由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零，由假设是正定矩阵，
有n-1阶可逆矩阵，使得=,
4/5 首页 上一页 2 3 4 5 下一页 尾页
=
（i=1,2,…，n）称为矩阵
=
，(i,j=1,2,…，n)的顺序主子式．
,
,…，
)=
=
是正定的，对于每一个k,1
k
（
）=
，我们来证
是一个k元正定二次型，对于一组不全为零的数
，
，…，
有
>0,（k=1,2,…,n）.
,由条件
=
，
，则
，使得
,