定理3.1 n阶实对称矩阵正定，当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n．
证明 设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得
++…+（*）
由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么正定当且仅当（*）是正定的，由定义3.3知（*）正定当且仅当>0 （i=1,2,…,n,），因此，正惯性指数为n.
推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0，（i=1,2,…,n,）.
证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型
f(,,…，)=++…+的正惯性指数为n，因此，>0
（i=1,…,n,）．
推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n．
推论3 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型f(,,…，)=的系数矩阵的所有特征值都是正数．
证明 由第二节知，实对称矩阵可对角化为，
其中，，…,恰好是的特征值，则二次型的标准形为：++…+，
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+
也是正定的.
,
,…,
)=
的正惯性指数为n．
+
+…+
（*）
>0 （i=1,2,…,n,），因此，正惯性指数为n.
正定的充分必要条件是
>0，（i=1,2,…,n,）.
，