而非退化实线性变换保持正定性不变，由f ( , ,…， )=  +  +…+  正定得 >0，（i=1,2,…,n）．
定理3.2实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．
证明 实正定二次型的规范形
++…+（*），
而（*）的系数矩阵为单位阵，非退化实线性变换保持正定性不变，且新二次型系数矩阵与原二次型系数矩阵是合同的，故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同．
推论1 实对称矩阵 是正定的充分必要条件是存在可逆矩阵 ，使得= ．
证明 设为一正定矩阵，当切仅当与单位矩阵合同，因此，存在可逆矩阵，使得= =,
推论2 实正定矩阵的行列式大于零．
证明 对=两边取行列式有 ||=|| ||= >0，因此，|A|>0．
推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵．
事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立．
推论4 正定矩阵的逆矩阵 一定是正定矩阵．
证明 由命题1.3得正定矩阵的逆矩阵一定是对称矩阵，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，所以存在可逆矩阵 使得=  =，取逆矩阵得 =   ，令 =,则= ,因此，与单位矩阵合同，所以是正定矩阵．
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