论文导读：微分方程的对称群分类，属于微分方程的群理论分析。因此群分类问题的主要困难就在于要同时从确定方程组中确定出任意函数的具体形式，并给出相对应偏微分方程的对称群。
关键词：微分方程，群分类，非平凡对称群
微分方程的对称群分类，属于微分方程的群理论分析。在传统意义上，微分方程的群理论分析主要有两大课题:一是对给定的微分方程，寻找其相应的对称群;二是给指定对称群的微分方程进行分类。本质上解决这两个问题都是利用李发展的著名的古典无穷小算法，首先把它约化为一个超定的线性偏微分方程组，即确定方程组，然后求解即可。当给定的方程不带任意函数时，确定方程组是显式的，因此人们一般总能找到许多有效的方法来求解。然而，当微分方程中含有任意函数时，相应的确定方程组中也带有任意函数，而求解带有任意函数的确定方程组是件很困难的事情。因此群分类问题的主要困难就在于要同时从确定方程组中确定出任意函数的具体形式，并给出相对应偏微分方程的对称群。所以，从纯粹的数学角度讲，求解微分方程的群分类，特别是在某些等价关系下的完备群分类，是很困难的。
为了解决这个困难，通常采用两种思想:一种就是通过引进一些技巧(如等价性变换)，直接研究带有任意函数的确定方程组的相容性，进而确定出函数的具体形式和相应方程的对称群。另一种思想就是不去直接研究确定方程组的相容性，而是先假设所考虑的方程具有某种性质的对称群G(对称代数g)，然后去寻找这种对称群(对称代数)的表示。 前一种方法由于确定方程组的复杂性，用这种思想来研究方程的群分类，特别是(在某些等价关系下)完备的群分类仍然是很困难的，常常依赖于所考虑方程本身的特殊结构。因此，通常会对方程中的任意函数作一些特殊的限制，进而给出一些零散的分类结果，称为方程的初步的群分类。这种思想给出了一个简化分类问题的有效方法，本质上等价于给解决微分方程的完备群分类问题提供了一种可能性。论文参考。最近，乌克兰数学家通过研究分类方程关于任意函数的特殊相容性，给出了一个有效的方法(称之为相容性方法)来分类非线性方程。该方法已被用于不同的群分类问题。通过进一步考虑附加的等价性变换，把该方法推广到非线性扩散对流方程的研究中，成功的给出了该方程在连续性等价变换群和一般等价群下的完备群分类。
后一种思想源于如果方程所容许的对称群(对称代数)的表示给定了以后，就可以直接应用Lie的无穷小算法来解决微分方程的群分类问题。然而，当对称代数的具体表示没有给定时，分类同样是非常的复杂。此时，利用Lie的无穷小算法的主要困难在于人们必须同时求解出任意函数的具体形式及其相应的最大不变性代数。论文参考。克服此困难的一个主要思想是由Lie自己给出的。论文参考。事实上，他在研究具有一个变量的常微分方程组所容许的非平凡的不变性对称代数时所用的方法已经暗示了我们在求解群分类问题时可采用的步骤，即首先构造由李向量场生成的对称代数的所有可能的不等价的实现。若成功的解决了此问题，则对称代数将被确定，因此我们可以直接利用Lie的无穷小算法获得所有不等价的不变方程。
然而，系统的利用这些思想来研究偏微分方程的群分类的方法主要是基于等价群的概念，即恰当的作用在某些由自变量，函数及其相关导数构成的扩展空间上保持方程形式不变的李变换群。具体如下:首先，通过修改Lie的无穷小算法来计算这个群，然后构造等价群的子群的最优系统;最后，利用Lie的无穷小算法来获得所考虑分类问题的具体的偏微分方程，使得它们在上述子群下是不变的。
最近，乌克兰数学家给出了求解容许有无穷参数等价群的偏微分方程的群分类的一个有效的方法。这个方法主要是基于如下事实:(a)若偏微分方程拥有非平凡对称，那么它在某些有限维微分算子李代数下是不变的，而这些李代数的类型完全由它的结构常数确定的;若所研究的微分方程具有无穷维的最大不变性对称代数，通常它会包含某些有限维李代数作为子代数。(b)若存在非奇的变量变换把一个给定的微分方程变换为另一方程，那么这些方程的有限维不变性李代数是同构的，且在微分方程群理论分析的意义下这些方程被认为是等价的。因此该理论实际上给出了一种用来初步分类由某些特殊类的一阶线性微分算子生成的低维李代数的不等价实现的方法。而这类特殊的微分算子是由所研究方程的结构确定的。它们形成了所考虑方程所容许的对称群的李代数的实现的一个表示空间。因此，可在所有可能的实现构成的集合中引进一个自然的等价关系，即若两个实现在等价群的作用下可以互相转换，则它们被称为是等价的。换句话说，研究具有给定形式的偏微分方程的对称群分类问题等价于构造其李变换群(或由一阶微分算子张成的李代数)的一个表示理论，而该表示就是所考虑的分类问题中对应方程的对称群(或代数)的一个实现。该方法已被用于具有两个自变量的一般的拟线性热传导方程和非线性波动方程的完备的群分类。
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