例7 讨论函数 的单调性
解： 而  为减函数，由定理2可知，为增函数
1.6利用倒函数的单调性
定理3 正（或负）值函数 若为增（或减）函数，则其倒函数在其公共定义域内为减（或增）函数。
例8 讨论函数 在区间 上的单调性
解： 在区间 上是减函数，由定理3知，在区间上为增函数
1.7利用函数的单调性判定函数和的单调性
定理4 两个具有公共定义域的增（或减）函数之和仍为增（或减）函数
例9 讨论函数 的单调性
解：函数定义域为 在此区间内， 为增函数，由定理3知， 为减函数，由定理2知， 为增函数，由定理4知为增函数
1.8利用函数的单调性判定函数积的单调性
定理5 两个正值增（或减）函数之积为增（或减）函数；两个负值增（或减）函数之积为减（或增）函数
例10 讨论函数 的单调性
解： 函数 在区间均为正值增函数，由定理5知 在区间上均为增函数
1.9利用导数
定理6 设在区间 上可导，则在上递增（或递减）的充要条件是 。
例11 讨论函数 的单调性
解：函数的定义域为 ，由复合函数可导性可知在定义域上可导。
令 得 ，它将定义域分为两个区间：  ，在区间 内  函数在此区间内是增函数，在区间内  函数在此区间内是减函数
⒉判定抽象函数单调性的几种方法
对于未给出具体函数式的抽象函数，需充分挖掘题目条件所提供的信息，具体方法如下：
2.1定义法
通过作差（或作商），结合已知条件进行变形（分解因式，配方等），再与0（或1）的比较来判断其单调性。
例1 设函数对任意 都有 ，且 时， 试讨论函数的单调性
解：当 时，得 ，当 时有 ，由 知是奇函数，又因时，，任取 有 ，所以在 上是减函数
这类题通常用赋值法取特征值“探路”，以便得出一般结论，使问题获得解决
例2 已知 在它的定义域内是增函数，证明 在其定义域内也是增函数
证明：在的定义域内任取两值 且，令 ， 则 若 根据在定义域内是增函数，得 ，这与矛盾。故 ，即在其定义域内也是增函数。
2.2逐层判定法
对复合函数先弄清它的复合过程，然后再按从内到外的顺序进行分层判定，直到得出正确结论。
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