论文导读：微分求积法(DQM)是由Bellman和他的同事在70年代初期提出求解非线性偏微分方程的一种新的数值方法[1]。基于这个观点，基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出。因为奇异摄动问题在实际问题（比如高雷诺数下的Navier-Stokes方程）中有广泛的应用，因而奇异摄动问题一直是数值计算中的热点问题。在这篇文章中，一个新数值方法基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出来处理奇异摄动问题。边界降阶技术被应用。
关键词：微分求积法，区域分裂法，最高阶导函数逼近，边界降阶，奇异摄动问题
1．绪论
微分求积法(DQM)是由Bellman和他的同事在70年代初期提出求解非线性偏微分方程的一种新的数值方法[1]。该法是一种简便、高效率、高精度求解积分一微分方程和偏微分方程(包括初值为题和边界问题)的数值方法。这种方法在处理边值问题时花费极少的计算代价得到更准确的解，也就是说，称之为谱精度[2-3]。DQM方法的出发点是通过插值来获得未知函数的逼近，然后所有的导函数被作为结果来得到。但是众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出。论文格式。
但是当节点增大到某个程度时，DQDDMHD方法的准确性不能被提高了。在某些情况下，准确性甚至变差了。为了提高准确性，尤其是处理奇异性问题的时候，区域分裂法(DDM)被引入。DDM方法是上个世纪60年代由德国数学家H.Schwerz为解复杂区域上的偏微分方程而提出的。其后，Picard,Wemer,Miller,Mitchell等对Schwarz交替法的发展与应用做了大量的工作。1992-1993年，Despres博士对Helmholtz方程和Maxwell方程的DDM算法进行了研究，并讨论了解的存在性和唯一性问题，给出了一种新的迭代算法。区域分解法能够得到如此广泛的关注，是因为它有很多优点，比如区域分裂的任意性，区域分裂后物理问题的数学描述多样性。它把大问题划分为几个小问题，缩小了计算规模。算法高度并行，计算的主要步骤是在各子域内独立进行，因此很容易实现并行计算以提高程序的运行效率。迄今为止，DDM方法已发展成为不再是纯数值技巧而是解微分问题的想法和方法。
奇异摄动理论和方法的研究自1935年以来先后在苏联、美国和其他国家蓬勃发展起来，成为数学的一个重要的领域。因为奇异摄动问题在实际问题（比如高雷诺数下的Navier -Stokes方程）中有广泛的应用，因而奇异摄动问题一直是数值计算中的热点问题。奇异摄动问题的一个特性就是边界层现象，由于边界层的存在，使这类问题它是一个对数值计算比较困难。在边界层内解的变化非常剧烈，许多传统方法在捕捉边界层处解的剧烈变化上是效率不高的，常出现数值不稳定，因而必然会反过来影响整个区域上解的精度。
在这篇文章中，一个新数值方法基于最高阶导函数逼近的微分求积区域分裂法(DQDDMHD)被提出来处理奇异摄动问题。它是一个对DQMHD方法在全局上的改进。用这种方法，整个区域被划分成几个子区域。在每个子区域上，DQMHD方法被采用。边界降阶技术被应用。主要的技巧是如何消去内点把微分方程降阶为只包含边界点的线性代数方程。
2.DQMHD方法和DQDDMHD方法
2.1 DQMHD方法
众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，我们提出对函数的插值的过程从导函数开始，然后原函数通过积分来获得。
DQMHD方法的本质在于函数和它的导函数能被在所有离散的点的值和权因子来逼近。权因子不依赖于任何的特殊的问题，但是依赖于网格划分。因此任何微分方程在离散点的数值解的问题能被降阶为线性代数问题。为了简单起见，让我们如下的在区域（0 1）上的两点边值问题：
用这种逼近，函数和它的导函数的值能用下面的式子计算：
(2.4)，(2.5)和 (2.6)被改写为如下的形式：
让我们把(2.8)写成矩阵的形式变为：
其中A，B是如下的系数矩阵：
那么方程(2.1)能被变为如下的矩阵方程组：
2.2 DQDDMHD方法
区域分裂法（DDM）是一种偏微分方程数值解的新技术，它把整个结构分成许多个子区域，在各个子区域内单独解方程，通过乡邻子区域的连接部分交换信息，因此它不存在联立求解所导致的问题。区域分裂法一般分为两种：重叠型和不重叠型，前者相邻子域之间有重叠部分，通过所谓Schwarz交替法求解，后者相邻子域之间之共用交界面，通过交界面上的连续性条件对解进行约束。在这里我们只考虑第二种情况。
DQDDMHD方法的主要的步骤：
1）整个区域被划分成几个子区域。
2）在每个子区域上用DQMHD方法来离散函数。
3）在每个子区域上用边界点（拟边界点）表示内点。
4）消去内点得到拟边界上的未知量所满足的方程组，并解方程组。则我们得到拟边界上的函数值。
5） 在每个子区域上，将拟边界上的函数值回代，那么内点上的函数值可知。论文格式。问题就解决了。
3. 对DQDDMHD方法应用
不失一般性我们考虑如下方程：
角点的8个导数满足如下方程：
当然角点的8个导函数可以任意选取，这里只是任选了4个。
4. 数值实验
现在用DQDDMHD方法来解决如下问题：
5. 结论
在这篇文章中，一种新的方法DQDDMHD方法被提出用来求解奇异摄动问题 。DQDDMHD方法是将基于最高阶导函数逼近的微分求积法和区域分裂法结合而成的。论文格式。 在我们的方法中，我们从最高阶导函数的插值入手然后通过积分得到较低阶的导函数和原函数。我们的方法原理简单，易于编程并且对于处理奇异摄动问题十分的有效。我们能通过使用适当的参数来获得令人满意的结果而且计算量也不是很大。因此我们有理由相信DQDDMHD方法的优点将会使它非常的吸引人。
QDDMHD方法的优点将会使他非常的吸引人。
6.参考文献
[1]R. Bellman and J. Casti, Differentialquadrature and long-term integration. 235-238. J Math Anal. Appl 34 (1971)
[2]C. W. Bert, X. Wang, and A. G. Striz,Differential quadrature for static and free vibrational analysis of asisotropicplates, 1737-1744. Int J Solids Structure 30 (1993)
[3]C. W. Bert and M. Malik, Differentialquadrature method in computational mechanics: 1-28. a review, Appl Mech Rev 49(1996)
[4]Wen Chen, Y. Yong, and X. Wang, Reducingthe computational effort of the differential quadruature method, 565-577.Inc.Numer Mehtods Partial Differntial Eq 12 (1996)
[5]W. Chen and M.Tanaka, A study on timeschemes for DRBEM analysis of elastic impact wave. 331-338. ComputationalMechanics 28 (2002)
[6]Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong ,Approximation of function and its derivates using radial basis functionnetworks,197-220. Applied mathematical modelling, 27 (2003)
[7]Nam Mai-Duy and Thanh Tran-Cong ,Numerical solution of differential equations using multiquadric radial basisfunction networks, 185-199. Neural networks, 14 (2001)
[8]Wu Xionghua, Liu Shuting. Differentialquadrature domain decomposition method for problems on a triangular domain.574-585. Inc.Numer Methods Partial Differential Eq 21 (2005)
[9]Yun Wu, Xionghua Wu, Linearized and rationalapproximation method for solving non-linear Burger’ equation , 509-525Int.J.Numer.Meth.Fluids 45 (2004)
[10]Ye Shen,Xionghua Wu, Differewntialquadrature domain decomposition method for a Class of Parabolic Equation,1819-132. Computers and Mathematics with Applications 48 (2004),1819-132
[11]Xu Liu Xionghua Wu,Differential quadrature Trefftz method for irregular plate problems,Engineering Analysis with Boundary Elements 33,363-367 2009
[12]Xionghua Wu, Yu-e Ren,Differntial quadrature method based on the highest derivative and itsapplications, Journal of computational and Applied Mathematics 205,239-250,2007
[13]Chen Li, Xionghua Wu,Numerical solution of differential equations using Sinc method based on theinterpolation of the highest derivatives, Applied Mathematical Modelling31,1-9,2007
|
