论文导读：分段函数又是函数中的一个难点。利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。必须用导数的定义来判断该点的可导性。分段点，分段函数在分段点处的导数的求法。
关键词：分段函数，分段点，导数
高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并没有对分段函数进行严格地定义。对其特征、性质等都没有作出具体说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。分段函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为以下两种形式：
 ，  ，
其中 为函数 的分段点。
在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。对于分段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。一般高等数学教材在给出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，“可导必连续”，这一必要条件的另一种说法：不连续一定不可导.利用这一必要条件，往往极易判断出函数在分段点的可导性。
1．若分段函数 在分段点处不连续，则在分段点处必不可导。
例1 设 ，讨论在 处是否可导？
解：  ， ，由于 ，可得在处不连续，则在处不可导。
以下讨论，我们总假定分段函数在分段点处是连续的。
2．利用导数定义求分段函数在分段点处的导数。
分段函数在分段点处的导数一般通过定义来求解，即讨论在分段点处的左、右导数  来获得。在处可导的充要条件是左导数和右导数均存在且相等，即  （ 为常数）。
例2 设 ，讨论在处是否可导？
解： ， ，
由 ，可得在处可导，且 。论文发表，分段点。
例3 设 ，讨论在处是否可导？
解： ， ，
因为 ，所以在处不可导。
3．利用导数极限定理求导
例4 设 ，讨论在处是否可导？
解法一： 利用导数的定义，
 ，
 。论文发表，分段点。由 ，得到在处可导。
在教学过程中，我们常会发现一些学生是按照以下方式来做的。
解法二：
当 时， ， ；当 时， ， 。
于是 ，因此 且有 。论文发表，分段点。
分析: 解法一是正确的，解法二虽然得到了和解法一相同的结论，但是在最后一步，由 ，推出，学生是将分段连续函数在分段点的导数 看作导函数 在该点的极限值，这样是否成立呢？我们看下面这个例子。
1/3 1 2 3 下一页 尾页 |
