论文导读：凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质以及充分条件也显得尤为重要。
关键词：凸函数，充分条件
凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质以及充分条件也显得尤为重要。
定义 设 为定义在区间上 的函数，若对内的任意两点 ， 和任意实数 ，总有
则称为上的凸函数。如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数。
引理1  为区间 上的凸函数的充要条件是：对内的任意三点
  ，皆有下列不等式 
引理2设在内可导,则下列论断等价：
1.是内凸函数；
2. 在内单调上升；
3.对内任意两点 ,恒有 
引理3为区间上的凸函数的充要条件是：对任意自然数 ,成立下列不等式:   
定理1 若在上处处左、右可导，并且其左、右导数满足不等式
    ，则为区间上的凸函数。
证明 设在上处处右可导，
首先证明对于任意的 ，有
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