yimg150|虽然不一定连续，但导数具有介值性 ，因而由定理6得：存在唯一的点 ，使得
 = （４）
将（４）式代入（３）即得
 ，即证。
２.在积分不等式证明中的应用
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，先合并同一积分区间上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。
例3若函数 在闭区间 上严格单调递减且连续， 的大小关系。
在 中给出了函数在闭区间上严格单调递增且连续的情况下的证明，本文则讨论在闭区间严格单调递减且连续的情况。
分析：将作差得 ，那么我们只要讨论的值与“0”的大小关系即可。下面我们用三种方法来证明。
证明一：设函数 ，其中 。显然在区间 上，函数 是单调递减且非负的，在区间 上，函数 是单调递增且非负的。由定理2和定理3知，  使得  （5） 使得 （6）
（6）-（5）得
= （7）
又 使 ，且 ，由定积分的几何意义知 ，因此，由（7）式得
即  ，而 ，移项即有 。
证明二：设函数，其中，显然函数在区间上可积，又函数在区间上递减连续，根据定理4可得，存在
 （8）
显然在区间 上，函数 是单调递减且非负的，在区间 上，函数是单调递增且非负的，故（8）式可变为：
由定积分的几何意义知：
 ，
同时， ,于是
即 。
证明三：取c=  ,再设，在上单调递减连续,且在及上不变号，由定理6得：存在唯一的 使得
 ，这里 ；
存在唯一的 使得
 ，这里 .
且由于在上单调递减，所以 。
而 ，故
 =
即有 ，移项即有 。
从上面的三种证明过程可以看出，证明一和证明二都是由积分中值定理得出的结论，而证明三是由定理6（即改进后的积分中值定理）得出的结论，比较两者我们不难看出定理6（即改进后的积分中值定理）的优越性。
例4 设的导函数在［０，１］上连续，证明： 。
分析：将 拆分成 ，又因为的导函数在 上连续,所以在 必存在最大值点和最小值点，分别设为 ，那么我们可以得到=  + ，然后通过计算，由积分中值定理即证。
证明：记 ＝ ， ，则有
 +＝ +   + （９）
由积分中值定理，存在 ，使得＝ ，所以－  ，故再由（９）式有  ．即证。
3. 在与积分极限有关的问题中的应用
无论是在数列极限，还是函数极限的计算中，如果含有定积分式子，首先用定积分的相关知识，如积分中值定理等，把积分式简化，然后再运用解决极限问题的各种方法，就能达到解决问题的目的。
例5设在[A,B]上连续， ,求 .
分析：此题在 中将变形为 ，然后用洛必达法则解得答案，本文我们可以将变形为 ，再用变量代换变为 ，然后用积分中值定理也可以得到相同答案。
解：
 == = =   ，其中 介于 与 之间， 介于 与 之间。所以当 时，有 ，故= .
例6 设是[0,2 ]的连续函数，证明： =|k 2/3 首页 上一页 1 2 3 下一页 尾页 |
