论文摘要：函数是中学数学的一个核心概念，数列是特殊的函数，本文通过三个问题及其三个变式的详细研究，加深学生对数列是特殊的函数的认识和理解，在问题冲突中寻求解题策略，灵活地进行问题转换；在联想与反思中寻求变通。关注知识的自然生成过程和解题思路的自然生成。从而有效地落实新课标的精神。
论文关键词：函数,数列,转换,变通
从宏观上说，数学中一切问题的解决都离不开转换。美国数学家波利亚特别强调转换在解题中的作用，他指出：解体的过程实际上就是一个不断对问题转换的过程。所谓转换，就是指思维能从一类对象或情境迅速地转到另一类内容不同的对象或情境。他是思维灵活性的一个重要体现，是求异思维的基础。因而，转换是数学思想方法的灵魂。
1、问题提出
宿州市十三校重点中学2008-2009学年度第一学期期中考试高二数学第12题：设数列{a}，a=n+kn(n
此题作为选择题中的压轴题得分率仅为31.3%。笔者先后找了8名做错学生进行个别访谈，发现存在许多问题：概念不清，不会运用a>a;有的学生知道运用a>a得出k>-2n-1而无法进行转换得出正确答案；计算出错；有的学生能够联系二次函数但画图不到位，没能考虑到数列的特殊性而错选答案C、D等等。针对上述出现的问题，笔者在试卷分析时开设一节专题，对数列的单调性进行了探究。不妥之处，敬请指正。
2、课堂摘录
问题1数列{a}是单调递增数列，且a=kn+1(n∈N)，求实数k的取值范围。
T：同学们知道，对于数列{a}，当a>a时，它是单调递增数列；当a时，它是单调递减数列。这道题怎样做呢？
S1：∵{a}是单调递增数列，∴k(n+1)+1>kn+1,即k>0。故k的取值范围是（0，+∞）。
反思1T：从通项公式看，由于数列是特殊的函数，从函数的观点看，a是n的一次函数，从结果上看，两者的单调性是相同的。因此，数列的单调性可以借助于函数的单调性来切入。
变式1、数列{a}是单调递减数列，且a=kn+m(n∈N，m是常数)，求实数k的取值范围。
T:那位同学说说这道题的解法？
S2：因为a是n的一次式且是单调递减数列，所以k＜0
T：非常好，掌声鼓励。
点评：通过实例让学生体验“数列是特殊的函数”，用函数的观点来统摄数列问题，同时为下一个问题作好铺垫。
问题2数列{a}是单调递增数列，且a=n+kn(n ，则实数k的取值范围是（）。
（A）（-3，+∞）（B）[-3，+∞）（C）（-2，+∞）（D）[-2，+∞）
S2：∵{a}是单调递增数列，∴(n+1)+K(n+1)>n+kn，化简得k>-2n-1，。。。但是没有选项。
T：一般来说，求得实数k的取值范围不应含有字母，仔细观察通项，能否转换一下角度？
S3：从通项公式看a是关于n的二次式，可以利用二次函数的单调性来解答。由于数列{a}是单调递增数列，而a=1>0因此有-k/2，k>-2。应选C
S4：不对，应该是-k/2≤，得k≥-2。应选D
T：如果是二次函数的单调递增，S4是对的。这是数列的单调性问题，数列和函数一样吗？究竟选哪一个呢？不妨我们一起来画一下草图。
 S5：不一样，数列是特殊的函数。
T：很好，那么特殊性是什么呢？
S6：特殊性就在于n∈N，它的图像是散点图而不是连续曲线。
T：非常好，那么对称轴n=-k/2能否大于1呢？画图试试看。
S7：通过平移对称轴n=-k/2我们发现1，如果-k/2≥3/2，那么a≤a与题设不符。从而我们得出k∈（-3，+∞）故选A
T：S7同学回答得非常好，她通过平移抛物线给出了正确的答案。掌声祝贺。请看下面一道题：
变式2、数列{a}是单调递减数列，且a=-n+kn(n，求实数k的取值范围。
同学们认真地画图，积极地思考，不一会儿有的同学举起了手。
S8：∵数列{a}是单调递减数列，∴k/2＜1.5，即k＜3
点评：抓住问题实质，适时点拨，让学生“动”起来，通过直观图形来建构知识，通过挖掘差异使学生真正体会“数列是特殊的函数”。
反思2T：通过以上的探究，我们体会到数列的单调性可以转换到函数的单调性来处理，但又有自己的特殊性。如果a是关于n的三次式呢？请看问题3
问题3数列{a}是单调递增数列，且a=n+kn(n，求实数k的取值范围。
T：对于三次函数以前我们很少涉及到，也不知道它的图像和性质，显然，无法运用函数的单调性来处理，怎么办呢？
S（合）：回到定义中去（波利亚语）
S9：∵{a}是单调递增数列，∴a>a即(n+1)+K(n+1)>n+kn，化简得k>-3n-3n-1，这是关于n的不等式，仍不是一个确定的实数。。。
T：当我们对面临的问题产生困惑时，最好的办法就是：回到题目中去，对条件进行再一次解读。“{a}是单调递增数列”指的是什么？
S10：当n [1，+∞），a>a恒成立。
T：很好，k>-3n-3n-1就意味着不等式在n[1，+∞）恒成立。那么k>（-3n-3n-1），这就转化为求函数f（n）=-3n-3n-1的最大值，显然f（n）在n[1，+∞）是减函数，它的最大值就是-7，即k>-7。 1/2 1 2 下一页 尾页 |
