论文摘要：信号的频谱分析是信号与系统分析的基础。本文分析了用数值计算的方法实现确知连续时间信号的频谱分析，即采用离散傅里叶变换的快速算法实现对连续信号的频谱估计，然后在MATLAB语言工具下结合正弦信号给出了频谱分析的结果。
论文关键词：频谱分析,离散傅里叶变化
引言
在信号处理过程中，频域分析方法往往比时域分析方法更方便和有效。对于确知连续时间信号，其频域分析可以通过连续时间傅里叶变换来进行，但是，这样计算出来的结果仍然是连续函数，计算机不能直接加以处理。为了实现数值计算，还需要对其进行离散化处理，即采用离散傅里叶变换（DFT）进行分析。DFT的快速算法的出现，使DFT在数字通信、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学等各个领域都得到广泛应用。本文以正弦信号为例，介绍用DFT的快速算法即快速傅里叶变化（FFT）实现确知连续时间信号的频谱分析，给出了MATLAB语言工具下的分析程序。
1信号频谱分析的原理
对于时间连续信号 ，其频谱分析可以通过连续时间傅里叶变换（CTFT）来进行。连续时间傅里叶变化特别适合于对时间连续信号的理论分析，但是，由于函数和其频谱函数都是连续函数，不能够直接用计算机来处理，因此在进行数值计算时必须将其离散化，然后利用离散傅里叶变换（DFT）实现近似计算。
设对连续时间信号的截取时间段长度为 ，对其进行离散化的采样时间间隔为 ,那么采样输出的离散时间序列 中的信号样值点数 为： 。
例如，若信号的大部分能量集中于频率段 和时间段 上，那么就可以根据采样定理选取采样时间间隔为 ，并选取截取时间段长度为 。这样就在离散时间点序列 上对连续时间信号进行了离散化。对的连续时间傅里叶变化中的积分进行近似求和计算，即：
   （1）
但是，这样计算出来的结果 仍然是连续函数，计算机不能直接加以处理。为了实现数值计算，还需要对进行离散化处理。将频率段 Hz划分为个计算频率点，这个离散频率点以角频率表示为：
 , （2）
即得到离散频率点上的近似计算式：
 （3）
对比DFT计算式，显然有
 （4）
该式表明，利用DFT(FFT)计算连续时间傅里叶变换的频谱时，除了计算时域样点的离散傅里叶变化的频谱 ，还要将乘以取样时间间隔，才能得出结果。
直接计算DFT的复杂度为序列长度的平方，即 。1965年，库利（T.W.Cooley）和图基（J.W.Tuky）在《计算数学》杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》论文后，桑德—图基等快速算法相继出现，又经人们进行改进，很快形成了一套高效计算方法，这就是现在的快速傅里叶算法FFT。其思想是将长序列分解为若干短序列进行DFT计算，然后通过若干旋转因子的复数乘法和复数加法合成最终的结果。FFT算法中，如果序列长度是2的幂次，可将序列长为N的DFT分割为两个长为N/2的子序列的DFT，成为基2-FFT。快算傅里叶变化算法只需要 的计算复杂度，FFT算法为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展，在此利用FFT计算连续时间傅里叶变化的频谱。
2频谱分析的若干问题讨论
通过以上原理可知，连续非周期信号频谱的数值计算必须首先对信号时域采样，得到时间离散化的信号，时域采样必须满足或近似满足采样定理。根据时域频域的对应关系，时域采样将导致所得的抽样信号频谱周期化。然而，为了使周期化后的抽样信号频谱便于计算机处理，还必须再将其频域离散化，方法是对该频谱进行频域采样。根据时域频域的对应关系，频域离散化将对应于时域信号的周期化。因此，对于连续非周期信号频谱进行数值计算时，要确定如何截取信号的时间段、如何选择时域采样率，以及在时间段上对信号进行截取的方式。截取信号的时间段长度决定了时域周期化的周期，对应于频率抽样的频率间隔，即频率分辨率；时域采样率决定了频域周期化的周期，即频谱数值计算的范围；而在某时间段上对信号进行截取的方式，即不同窗函数的应用，决定了信号频谱估计的精度和有效范围。
设要分析连续时间非周期信号在频率范围内的频谱，且要求分析的频谱分辨率（数值计算的频率间隔）为 ，则首先应根据信号频率范围确定采样率，在根据所要求的频率分辨率确定截取时间长度，从而计算出所需计算FFT的序列长度（点数），最后根据信号时域波形特性选择使用不同的窗函数。
（1）根据分析的信号频率范围确定采样率。要分析信号在频率范围内的频谱，则采样率必须满足采样定理，即 ，相应地，采样时间间隔 (也称为时间分辨率)满足 。
（2）根据频率分辨率要求确定分析信号的截取时间长度。要使所分析的频率分辨率达到，即每隔计算一个频率点，那么对信号的截取时间长度必须满足 ，根据截取时间长度和采样时间间隔就可以计算出截取时间信号离散化之后的序列点数，也可以由计算采样率 和频率间隔来等价计算出序列点数，即：
 （5）
（3）根据信号时域波形特性来应用不同的窗函数。 1/2 1 2 下一页 尾页 |
