【摘 要】幂级数是级数这一章的主要内容，求幂级数的和函数是一个非常重要运算，也具有一定的技巧性。文章结合多年的教学实践，介绍了求幂级数的和函数的最基本的方法。
【关 键 词】幂级数 和函数 积分 逐项求导 收敛域
求幂级数的和函数的思路是：经过加、减、乘运算，或逐项求导运算或逐项求积分运算，将幂级数转化为我们已知其和的幂级数（例如等比级数 从而求得原幂级数之和函数。以下通过举例说明求幂级数的和函数的基本方法。
例 求下列幂级数的和函数：
① ②
③ ④
解：①先要求出和函数的定义域，即幂级数的收敛域。易得该幂级数的收敛域为 。再设 则逐项求导得
 
＝
这是一个公比为 的几何级数，其和为
两边积分得
  
而 ＝
令 代入原幂级数得S（x）=0。所以
注意：代写硕士论文逐项求导后收敛区间的端点的收敛性可能会起变化，需要对端点进行讨论。
②幂级数的收敛域容易得出为（－1，1）.
设则逐项积分得
两边再求导得
注意：逐项积分后，收敛区间端点的收敛性可能会起变化。此刻当
 时均为发散，因此收敛域与收敛区间相同。
小节：从①②题可以得出一个思路，采用一种运算后使幂级数中 的系数变成1或
－1.这样就可以利用几何级数的求和公式，从而得出原幂级数之和。
③先求
得R＝ ，级数均为发散，所以幂级数的收敛域为（－1，1）.令
后一个幂级数为几何级数，得
前一个幂级数，要使其 无关的常数，可用逐项积分的方法。令
则
两边求导
即
④ 这是缺项幂级数。
 幂级数发散，所以幂级数的收敛域为（－1，1）。
设 
令
则
两边求导得
而
即
【 参考文献】
［1］盛祥耀，等.高等数学辅导.北京：高等教育出版社，2003.
［2］梁保松，等.高等数学.北京：中国农业出版社，2001.
［3］王信峰，大学数学简明教程.北京：高等教育出版社，2002.
［4］刘永莉，李曼生，两类幂级数的和函数的求法.甘肃联合大学学报（自然科学版），2005.（2）.
［5］张绍璞, 一类幂级数的和函数与h（n,K）数的引入. 天津轻工业学院学报，1993（2）.
［6］龚成红，幂级数的和函数.2003. |
