例9．求
解： 因为 ，  是有界函数
所以=0
六、利用等价无穷小代换求极限
在求两个函数的积或商的极限时，若能利用三角公式或代数公式进行变形，最后变成两个极限为零的因式之比时（两个无穷小之比），则可以用它们的等价无穷小来代替，求出极限。等价无穷小主要有： ～ ～ ～ ～ ～ ～ （ ） ，当前面每个函数中的自变量x换成 时（ ），仍有上面的等价关系成立。
例10． 
解： ～ ， ～ ，
∴ 原式= 。
例11．
解：原式=
七、利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限，首先讨论数列的单调性和有界性，再解方程可求出极限。
例12． 已知 ，求
解：易证：数列 单调递增，且有界（0< <2），由准则极限存在，设  。对已知的递推公式  两边求极限，得：
 ，解得： 或 （不合题意，舍去），所以  。论文格式。
八、利用夹逼准则求极限
对于数列，若 为三个数列，且满足：（1） ；（2）  ， ； 则极限 一定存在，且极限值也是a ，即 。对于函数，若在某个过程中，恒有g(x) f(x)h(x),而且limg(x)=limh(x)=A,则limf(x)=A。在求解过程中一般要将所求极限的函数进行适当放大或缩小，得到两个有相同极限的函数，然后利用夹逼准则求出其极限值。
例13． 求
解： 易见：
因为  ，
所以由准则得：
九、利用洛必达法则求极限
洛必达法则为：假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3） 存在（或是无穷大），则极限 也一定存在，且等于，即= 。论文格式。利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。
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