Steiner三连系的构造与计数

当v=2t+1=19时，作为已存在的Steiner三连系应当是t=9阶Steiner三连系，用于构造19阶Steiner三连系的是以下D（v）=v-2=7个不同构造且互不相交的9阶Kirkman三连系，但是9阶Kirkman三连系的个数N＞7，且N=N 　　A 　　×N 　　B 　　，N 　　A 　　=(v-2)(v-4) …(v-2m)为含c 　　1 　　三连系｛c 　　1 　　,c 　　a 　　,c 　　b 　　｝…的构造的选择数，N 　　b 　　=(v-5)(v-7) …(v-2m)为含c 　　2 　　三连系｛c 　　2 　　,c 　　i 　　,c 　　j 　　｝…的构造的选择数，…，105个9阶Kirkman三连系的构造结果证实了9阶Kirkman三连系的计数方法。论文参考网。

KT 　　1 　　 　　（9） 　　={{1,2,3},{1,4,7},{1,5,6},{1,8,9},{2,4,5},{2,6,8},{2,7,9},{3,4,8},{3,5,9},{3,6,7},{4,6,9},{5, 7,8}}

KT 　　2 　　 　　（9） 　　={{1,2,4},{1,3,9},{1,5,8},{1,6,7},{2,3,6},{2,5,7},{2,8,9},{3,4,5},{3,7,8},{4,6,8},{4,7,9},{5,6,9}}

KT 　　3 　　 　　（9） 　　={{1,2,5},{1,3,7},{1,4,9},{1,6,8},{2,3,4},{2,6,9},{2,7,8},{3,5,6}, {3,8,9},{4,5,8}, {4,6,7},{5,7,9}}

KT 　　4 　　 　　（9） 　　={{1,2,6},{1,3,4},{1,5,9},{1,7,8},{3,5,7},{2,5,8},{2,4,7},{2,3,9},{4,8,9},{6,7,9},{3,6,8},{4,5,8}}

KT 　　5 　　 　　（9） 　　={{1,2,7},{1,3,5},{1,4,8},{1,6,9},{2,3,8},{2,4,9},{2,5,6},{3,4,6},{3,7,9},{4,5,7},{5,8,9},{6,7,8}}

KT 　　6 　　 　　（9） 　　={{1,2,8},{1,3,6},{1,4,5},{1,7,9},{2,3,7},{2,4,6},{2,5,9},{3,4,9},{3,5,8},{4,7,8},{5,6,7},{6,8,9}}

KT 　　7 　　 　　（9） 　　={{1,2,9},{1,3,8},{1,4,6},{1,5,7},{2,3,5},{2,4,8},{2,6,7},{3,4,7},{3,6,9},{4,5,9},{5,6,8},{7,8,9}}

当完全图K 　　19 　　的边矩阵K 　　19 　　′形成后，按方案P 　　1 　　将K 　　19 　　′划出t(t-1)/2=36个完全二分图K 　　 　　 　　，K 　　 　　 　　，K 　　 　　 　　的边矩阵，再根据KT 　　1 　　 　　（9） 　　将t(t-1)/2个完全二分图K 　　 　　 　　，K 　　 　　 　　，K 　　 　　 　　并成t(t-1)/2=12个2×2三连系矩阵K 　　 　　 　　，而将K 　　v 　　′的1行1列及对角线上的3(v-1)/2个边并成(v-1)/2个完全图K 　　3 　　，最后得P 　　1 　　类19阶Steiner三连系的第一个三连系ST 　　p1 　　 　　（1） 　　(19)，再依据KT 　　2 　　 　　（9） 　　，KT 　　3 　　 　　（9） 　　，…，KT 　　7 　　 　　（9） 　　依次将K 　　19 　　′ 　　（1） 　　分解出v(v-1)/6个完全图K 　　3 　　，即得其余6个三连系ST 　　p1 　　 　　（2） 　　(19)，ST 　　p1 　　 　　（3） 　　(19)，…，ST 　　p1 　　 　　（7） 　　(19)。

　　 　　ST 　　（1） 　　 　　p1 　　（19）={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{1,8,9},{1,10,11},{1,12,13},{1,14,15},{1,16,17},{1,18,19},{2,4,6},{2,5,7},{2,8,14},{2,9,15},{2,10,12},{2,11,13},{2,16,18},{2,17,19},{3,4,7},{3,5,6},{3,8,15},{3,9,14},{3,10,13},{3,11,12},{3,16,19},{3,17,18},{4,8,10},{4,9,11},{4,12,16},{4,13,17},{4,14,18},{4,15,19},{5,8,11},{5,9,10},{5,12,17},{5,13,16},{5,14,19},{5,15,18},{6,8,16},{6,9,17},{6,10,18},{6,11,19},{6,12,14},{6,13,17},{7,8,17},{7,9,16},{7,10,19},{7,11,18},{7,12,17},{7,13,14},{8,12,18},{8,13,19},{9,12,19},{9,13,18},{10,14,16},{10,15,17},{11,14,16},{11,15,16}}；

ST 　　（2） 　　 　　p1 　　（19）={{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{1,8,9},{1,10,11},{1,12,13},{1,14,15},{1,16,17},{1,18,19},{2,4,8},{2,5,9},{2,6,18},{2,7,19},{2,10,16},{2,11,17},{2,12,14},{2,13,15},{3,4,9},{3,5,8},{3,6,19},{3,7,18},{3,10,17},{3,11,16},{3,12,15},{3,13,14},{4,6,12},{4,7,13},{4,10,14},{4,11,15},{4,16,18},{4,17,19},{5,6,13},{5,7,12},{5,10,15},{5,11,14},{5,16,19},{5,17,18},{6,8,10},{6,9,11},{6,14,16},{6,15,17},{7,8,11},{7,9,10},{7,14,17},{7,15,16},{8,12,16},{8,13,17},{8,14,18},{8,15,19},{9,12,17},{9,13,16},{9,14,19},{9,15,18},{10,12,18},{10,13,19},{11,12,19},{11,13,18}}；

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