论文导读：回顾了方阵的伴随矩阵概念，讨论了方阵的伴随矩阵的秩、可逆性、行列式、特征值、特征向量、对称性、正交性、正定性；并对每个性质给出了证明．
关键词：方阵，伴随矩阵，性质
设A是n阶方阵，A的伴随阵定义为 其中 是 中（i，j）元的代数余子式。
性质1 
证明：设 ，记 则 其中  ，故 ，类似有 。
性质2 若 则
证明：由性质1可知，当时 。
性质3 
证明：情形1： （性质9）；
情形2：
性质4 
证明:由 可知  。
性质5 
证明： 。
性质6 
证明： 。论文参考网。
性质7  。
证明：
性质8  
证明：（1）当 时 ，事实上由性质9可知A可逆 ；
（2）当 ，由矩阵秩的定义知，此时A的所有n-1阶子式即中任一元素均为零，于是=0从而 ；
（3）当 。由矩阵秩的定义可知A中至少有一个n-1阶子式不为零，也即是中至少有一个元素不为零，故 ，又由于 ，A为降秩矩阵，于是 ，由 ，把代入 ；
综上可知： 。论文参考网。
性质9 A可逆 可逆
证明：（1）若A可逆则也可逆。论文参考网。由性质可知： 。A可逆则 ，由可逆矩阵的定义可知可逆。
（2）若A不可逆则也不可逆即则 。假设 可逆， 由定义可知=0与 矛盾，故假设不成立，原命题成立。
性质10 A为对称阵则也为对称阵
证明：A为对称阵 是对称阵
性质11 A为正交阵则是正交阵
证明：A是正交阵 ， 是正交阵。
性质12 A为正定矩阵则亦是正定矩阵。
证明：因为A是正定的，|A|> 0，并且也是正定的，=| A| A−1，所以也是正定矩阵．
性质（9~12）说明A的伴随阵继承了A的许多性质，这里所谓的继承是指若A具有某性质p，则也具有性质p，这些性质包括矩阵的对称性、可塑性、正定性、正交性等重要性质，对于这些性质，A与同时具有或同时不具有，也即A具有这些性质的充要条件是也具有这些性质。
参考文献：
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1988：176．
[2] 同济大学数学教研室．线性代数[M]．3 版．北京：高等教育出版社，1999：52-53．
[3] 钱吉林．高等代数题解精粹[M]．北京：中央民族大学出版社，2002：124．
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