论文导读：本文介绍了Monte Carlo方法的思想，主要从在定积分计算方面介绍了随机投点法和平均值法，并将其推广到二重积分、三重积分和多重积分情形，最后以棋手分奖金问题介绍了 Monte Carlo方法在古典概率问题中的应用.分析了误差，介绍了减少误差的方法. 给出这些方法的实例及其Mathematica实现程序.
关键词：MonteCarlo方法，积分计算，古典概率，模拟
1 引言
Monte Carlo方法，源于第二次世界大战美国关于研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.19世纪人们用投针试验的方法来确定圆周率 .20世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.
Monte Carlo方法研究的问题大致可分为两种类型:一种是问题本身就是随机的,另一种本身属于确定性问题,但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系,因而也可用随机模拟方法解决.
文[1]-[7] 介绍了Monte Carlo方法的思想，但没有给出具体的实例及实现过程。发表论文。本文介绍了MonteCarlo方法的思想，从计算定积分和古典概率两方面的应用进行研究，给出了实例及其Mathematica实现程序.
2 Monte Carlo方法
2.1 Monte Carlo方法思想概述
Monte Carlo方法，有时也称随机模拟(RandomSimulation)方法或统计试验(Statistical Testing)方法.它的基本思想是:首先建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察、抽样来计算所求参数的统计特征；最后给出所求解的近似值,而解的精度可用估计值的标准误差来表示.
假设所求的量 是随机变量 的数学期望 ,那么近似确定的方法是对进行重复抽样,产生相互独立的值的序列 并计算其算术平均值:
根据大数定理，当 充分大时, 以概率1成立，即可用 作为的估计值.
Monte Carlo方法以概率统计理论为基础,以随机抽样(随机变量的抽样)为手段，在很多方面有重要的应用.它的优点表现在三个方面：方法和程序的结构简单，易分析、易理解；收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关，很好的避免了维数问题；受问题条件限制的影响较小，很好的提高可行性.
使用Monte Carlo方法的步骤如下：
(l)构造或描述概率过程
(2)实现从已知概率分布中抽样
(3)建立各种估计量
2.2 Monte Carlo方法的可行性
从Monte Carlo方法的基本思想可以得到它通常的做法，利用数学或物理方法产生[0，1]中均匀分布的随机数，在变换得到任意分布的随机数.随机数个数很大时，可以由大数定理，求出事件的概率值.这种做法的可行性主要依据下面的事实：
（1）如果随机变量 的分布函数是 ，由于非降.对于任意的 ,( ),可以定义： 作为的反函数.我们考虑随机变量 的分布，这里假定是连续函数，则对于 有：
 （1）
即服从 上的均匀分布.
（2）反之，如果 服从上的均匀分布，则对于任意的分布函数，令 ，则：
 （2）
因此是服从分布函数的随机变量.
所以我们只要能够产生中均匀分布的随机变量的子样，那么通过（2）式我们就可以得到任意分布函数的随机变量的子样.再结合大数定理、就可以运用Monte Carlo方法进行随机模拟，解决一些实际的问题.
3 Monte Carlo方法在定积分中的应用
3.1随机投点法
对于定积分 .为使计算机模拟简单起见，设 ， 有限， ，令 ，并设 是在 上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函数为 .则是中曲线 下方的面积（如图2）.
图2
假设我们向中进行随机投点.若点落在 下方（即 ）称为中的，否则称不中.则点中的概率为 ，若我们进行 次投点，其中 次中的.则可以得到 的一个估计
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