概率统计中概念的对比分析

概率统计中概念的对比分析
论文关键词：概率统计,概念,对比分析

概率统计在日常生活、生产实践和科学实验中的应用是非常广泛的．概率统计是新课程改革过程中重点加强的内容之一．有关概率统计的各种计算问题，既是中学数学教学的疑难问题，也是高考数学试题中考查的主要内容．解决这类问题的关键,在于对概念的理解和掌握．

为了有效的帮助学生解决有关概率的计算问题，本人曾写了《概率问题中的概念辨析》（中学生理科应试2007.2），对随机事件与随机试验、频率与概率、互斥事件与对立事件、互相独立事件与独立重复试验等概念进行了辨析．

但是，还有一些概念的含义也很难区分．例如，离散型随机变量与连续型随机变量、二项分布～与几何分布～、期望与方差、均方差与标准差、系统抽样与分层抽样、条形图与直方图、正态分布与标准正态分布，等等．

在学习概率统计中的各种概念时，同学们很难搞清楚其中的含义和区别．所以，很有必要对这些概念做进一步的对比分析．

一、离散型随机变量与连续型随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么就把这个变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母等表示．

对于随机变量所有可能的取值，如果我们能事先按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．例如，抛掷一枚骰子，设所得点数为随机变量，则所有可能的取值分别为1、2、3、4、5、6．这些取值，我们能够事先一一列举出来．这时，所得的随机变量就是离散型随机变量．

如果随机变量所有可能的取值，可以是某个区间内的任何一个值，这时，我们就不能够事先按一定的次序一一列出，这样的随机变量叫做连续型随机变量．例如，对某班学生的身高(或体重)进行测量，所得的数据是随机变量，则所有可能的取值是某个区间内的实数．事先，我们不能够把所有可能的取值一一列举出来．这时，所得的随机变量就是连续型随机变量．

二、二项分布～与几何分布～

在一次试验中，如果某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中，这个事件恰好发生次的概率为．于是得到随机变量的分布列

称这样的随机变量服从二项分布．记作～．

例如，设某人投篮时投中的概率为0.8，若连续投篮次，则投中次数是恰好为的概率是．这时，投中次数服从二项分布．记作～．

设某事件在一次试验中发生的概率是．如果，在次独立重复试验中这个事件第一次发生时，所作试验的次数为随机变量．那么，在第次试验时事件第一次发生的概率为．

于是，得到随机变量的分布列

称这样的随机变量服从几何分布．记作～．

例如，设某射击手有5发子弹，射击一次中靶的概率为0.9，若命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗子弹数的分布列．

因为，当时，耗子弹数的概率，此时服从几何分布，记作～；当时，．所求分布列为

三、期望与方差

若随机变量的值分别为时，相应的概率P分别为．则称

．

为随机变量的数学期望或平均数、均值，简称期望．同时把

．

叫做随机变量的均方差，简称方差．把均方差的算术平方根叫做标准差，记作．

例如．（2008年高考湖北理）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.

（1）求ξ的分布列，期望和方差；

（2）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.

解：（1）的分布列为：

∴

（2）

由，得a2×2.75＝11，即又

所以，当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.

∴或即为所求.

四、系统抽样与分层抽样

系统抽样与分层抽样都是从总体中抽出一个样本的抽样方法．

如果，总体中的个体数较多，就将总体均衡的分成几个部分，按事先确定的规则，在每个部分中随机抽取数目相同的个体，得到的所需样本．这种抽样方法叫做系统抽样．

如果，总体由差异明显的几个部分组成，就把总体按其差异分成几个层次，分别在每一层中，按一定的比例抽随机取个体．这种抽样方法叫做分层抽样．

例(2009年广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人.

【答案】37, 20

【解析】根据系统抽样的方法，先均匀分组，然后规则抽取。由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

由分层抽样是在不同层次中，按比例抽取。

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