证明数列不等式的常用方法
论文关键词：数列不等式
数列不等式数列是含有数列的通项或前n项和的不等式．在近年来的高考数学试题中，经常会见到关于数列不等式的证明问题．而数列不等式的证明大多数都是比较麻烦的．
由于数列不等式都是与自然数n有关的不等式．所以在证明数列不等式时，人们最先想到的是利用数学归纳法．但是，只用数学归纳法,并不能完全解决数列不等式的证明问题．
例如，对于不等式 ．如果用数学归纳法证明，则过程如下下:
（1）当 时，左 ，右 ，不等式成立．
(2)假设 时，不等式成立．即 .
 时，对上式两端同时加上 ,可得
下面只需证 成立，此式等价于 ，因为这个式子的分母为正数，所以可等价转化为 ，由此得 ．这显然是矛盾的．这说明利用数学归纳法，是不能证明这个不等式的．对这个不等式，在后面的例题1中进行证明．
对于数列不等式的证明，需要利用各种方法，其中放缩法最为重要．应该把放缩法与数学归纳法、比较法、分析法等各种方法结合起来使用；还可以构造函数，利用函数的单调性及最值进行证明．在具体证明过程中，需要根据题目的实际情况，选择适当方法．只有巧妙地把各种方法结合起来，才能够较好地解决数列不等式的证明问题．下面介绍几种证明数列不等式的常用方法，供大
参考．
一、根据题目的特征适度放缩，用放缩法证明数列不等式
例1 在数列 中， 为其前n项和，且满足 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明： ．
解：（1）∵  ,
∴  ，  ．
又 ， ．∴  ．
（2）∵  ，
∴  ，把这 个不等式相加可得
  ．
【评析】：本题证明的关键，是根据数列不等式的特征，分离出需要的常数，得到不等式．再把这个不等式相加，并用等比数列求和公式化简，然后用放缩法证明．
二、先用数学归纳法猜想并证明通项公式，再用放缩法证明
例2 （2008年高考辽宁）在数列 ， 中， ， ，且 ， ， 成等差数列，，， 成等比数列（ ）．
（Ⅰ）求 ， ， 及 ， ， ，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明： ．
解：（Ⅰ）由条件得 由此可得
猜测 下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由，，可知结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
那么当n=k+1时， ，
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
（Ⅱ） n≥2时，由（Ⅰ）知
故
＝
＝ 综上，原不等式成立．
【评析】：这个题的证明过程中，“”是最关键的一步，通过这一步的放缩，就可以进行下一步的拆项相消了．
三、在用数学归纳法证明的第二步过程中，利用放缩法进行证明
例3．(2009年高考山东)设等比数列{ }的前n项和为 ，已知对任意的 ，
点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上．
（Ⅰ）求r的值；Ⅱ）当b=2时，记  ，m
 求证：对任意的 ，不等式 成立．
解：（Ⅰ）因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
又因为{}为等比数列， ，
所以， ，并且 ．
（Ⅱ）当b=2时， ，
则 ，所以 w．w．w．，，，k．s．5．u．c．o．m ，
因此，只需证明不等式 成立．因为
①当时，左边= ，右边= ，因为 ，所以不等式成立．
②假设当 时不等式成立，即 成立．
则当 时，左边为
    ．
所以，当时，不等式也成立．   由①、②可得不等式恒成立．所以要证的原不等式也成立．
【评析】本题主要考查等比数列的定义、通项公式、求和公式以及数列不式的证明．在证明过程中，利用了数学归纳法和放缩法．其中，用均值不等式缩小是最关键的一步．
四、在用放缩法证明的同时，构造函数并用其单调性证明数列不等式
例4 （2009年高考广东）  已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： ．
解：（1）可设切线为 ，联立 得 ，则 ，
∴ （ 舍去），由此解得
 ， ．
 （2）证明：∵ w．w12二，
．
∴ ．
由于 ，可令函数 ，则 ，令 ，得 ．在区间 上， ，则
函数 在上单调递减．∴ ，即 在恒成立，
又 ，则有 ，即 ． w．w．w．k．s．【评析】前面的放大过程中是利用不等式： ，由此得 ．
五、利用作差、作商比较法或者分析法，也可以证明数列不等式
例5（2009年高考安微）已知数列{ }的
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