当且仅当 即 时取“＝”．所以 的最小值是 ．
二、在双曲线中的应用
 例2(2006年高考安徽卷22题)如图5，F为双曲线C： 的右焦点、P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点,已知四边形 为平行四边形， ．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率 与 的关系式；
（Ⅱ）当 时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，
若 ，求此时的双曲线方程．
解:（Ⅰ）∵ ， ，
设右准线交PM于H，则 ，
又 ,∴ ．
（Ⅱ）当时，由 得 ，即 ．由 得 ，
由此得双曲线为 ．
∵时, ,  , ．
在 中, ．
P点的坐标为 ,则 , ．即 ．
令AB与的夹角为 ,由AB∥OP得 , ．
∵ ,∴ ,解得 ,即 ．
由，可以解得 ．故所求双曲线的方程为  ．
三、在抛物线中的应用
例3 (2006年高考全国Ⅱ卷第21题）已知抛物线 的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 ．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明 为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出 的表达式，并求S的最小值．
解：（Ⅰ）可设 , ,AB的倾斜角为,则AB的斜率 ．由 知AB过焦点 ．所以AB的方程为 ．将此式代入 得 ．则 ．
∵ ,∴过A、B两点的切线方程分为 ， ．
由此解得: , ．即点M为 ．
所以  ,  ．
∴  为定值．
(Ⅱ)∵抛物线的焦准距 ,过焦点F的弦AB与对称轴夹角为 ．
∴  ．
又 ,由 知 ．
∴△ABM的面积为 ．
当 ,即AB与轴平行时,F点是AB的中点,,△ABM的面积S有最小值4．
求的表达式的方法如下:∵ ,
∴ ．设 ,则可以解得
 ．又 ， ．
∴ ．
四、综合应用
(2009湖南卷理)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和   w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求点P的轨迹C；
（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。
解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则  ①
当xkeyimg1662时，由①化简得  w..u.c.o.m  当 时,由①化简得 .
故点P的轨迹C是椭圆 在直线x=2的右侧部分与抛物线 在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与 ， 的交点都是A（2， ），B（2， ），直线AF，BF的斜率分别为 =， =.
设直线l直线l与x轴的夹角时， 或 时，此时有  .因为 ，
 所以 .由焦点弦公式得
 ．
当且仅当 即 时，等号成立。
（2）当 时，可设点 在上，点 上，
则由焦半径公式得  .
设直线AF与椭圆的另一交点 ，则 ， ．
所以  。而点A，E都在上，且
 有（1）知
综上所述，线段MN长度的最大值为
巩固练习
1、设过椭圆 焦点F的弦为AB，中心为O．求 面积的最大值．
2、过双曲线 的焦点作倾角为 的弦AB．求AB的长．
3、（2009福建卷理）过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________
4、（2006年高考江西卷第21题）如图6，椭圆Q： 的右焦点为 ，过点F的一动直线 绕点F转动，并交椭圆与A、B两点，P为线段的AB的中点．
⑴求点P的轨迹H的方程;
⑵若在Q的方程中，令 ．确定的值，使原点距椭圆Q的右准线 最远．此时，设与轴交点为D，当直线绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
参考答案
1、 ．（提示∵ ∴ , ．
则 ．
∴ ．)
2、 ．（提示  ， ． ．）
3、【答案】：2
（提示 ∴ ．∴ ）．
4、⑴ ．⑵ ．（提示∵ ,
∴ ．当 时,原点到右准线的距离 取最大值2．此时  , ,椭圆Q的方程为．
设线段AB与椭圆长轴的夹角为 ,由于 ,则
 ,点D到线段AB的距离为 ．  ．
当且仅当 ,即 轴时, 的最大值为）．
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