焦点弦公式及其应用
论文关键词：焦点弦公式,应用
在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．
为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．
 设圆锥曲线的离心率为 ，焦准距为 ,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式  ，简称焦点弦公式．特别当离心率 时，焦点弦公式还可以化简．
１、当 时,圆锥曲线为椭圆,  ；
２、当 时，圆锥曲线为抛物线,  ．
下面对焦点弦公式进行证明．
证法一如图1,设椭圆C: 焦点为 ,过焦点F的弦AB的倾斜角为 ,当 时,弦AB在直线 L: 上．由直线L和椭圆C的方程可得
 ．
设点A、B的坐标分为 和 ，则 ．由焦半径公式得弦AB的长度为       
∵焦准距为 ,∴．当 时，公式也成立．
对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．
证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为 ，过焦点 的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵ ， ．
∴
 ．即．
当 时，同理可以推得 ．
利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．
一、在椭圆中的应用
例1 （2008年高考安徽卷文科22题）
已知椭圆 ，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为 的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求 的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得 ，又 ，所以 ．
故所求椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为，  ， ， ，  。
由焦点弦，可得 = 得证．
（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为，则DE与 轴的夹角可表示为 。因而
， ，
  
 。
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