其中 是广义力。由特征方程求得第r 阶模态的特征值λr ,并由λr求得第r 阶模态频率fr.
2 讨论
分析参数与[3]相同，h1=h3= 0.1mm,h2=2mm;G =0.388MPa,在磁场作用下，G可增加60%。,E1=E3=72GPa;  ， ，b =30mm中国论文网。因为主要考察刚度变化的影响，故令MRE的损耗因子b =1e-5。其他参数在讨论中另行给出。
表1给出了MRE梁在无磁场和有磁场作用（此处及下文MRE均表示磁场作用下，G增大60%）下，不同长度下前几阶模态的频率。其中fn，fm分别表示的是无磁场和有磁场下MRE梁的固有频率,单位为Hz。定义可调谐比（以增大的百分数表示）s=100(fm-fn)/fn.由表可知，对于L=100mm、150mm的第1、3模态的结果与文献[8]一致（在文献中考察的是x=L/2的响应，故不能得到本表中的第2阶反对称模态的频率）。在文献[3]中考虑了约束层转动惯量等，但对于约束阻尼结构，大量研究已表明，可忽略其影响，本文的结果也证明了这一点。对于本文给定的h2=2mm,从表1可知，不同长度、不同模态所能获得的频率改变量稍都不同，较长的梁的1阶模态可调谐比要低一些。对于MRE剪切模量在磁场作用下可提高60%的情形，其调谐比s可达到24%以上，且对不同模态一般都可高于20%。值得注意的是，对于L=300mm，从第3阶（86.68Hz）开始，调谐后的频率可接近或达到下一阶无磁场时的模态频率，这意味着，如果一个主结构受到外部86Hz以上的任何频率激励，若采用L=300mm的MRE梁作吸振器，则通过调整磁场，只用一个吸振器，就可使吸振器频率与外部激励频率保持一致，实现跨越多个模态的宽频调谐，这是其他吸振器难以具备的特性。
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表1 MRE梁在不同长度下前7阶模态的频率
Table 1 The first 7 mode frequencies for MRE beam with different length L
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L/mm 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th
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100
fn 86.62 180.29 280.22 389.92 511.99 / /
fm 107.63 224.89 346.38 475.65 615.18 / /
s 24.26 24.74 23.61 21.99 20.15
150
fn 55.77 117.48 180.35 246.05 315.65 / /
fm 68.26 146.63 224.96 305.25 388.59 / /
s 22.40 24.81 24.74 24.06 23.11 / /
300
fn 24.15 55.79 86.68 117.52 148.69 180.40 212.83
fm 27.91 68.28 107.701 146.67 185.69 225.03 264.87
s 15.57 22.39 24.25 24.80 24.88 24.74 24.45
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图3 模态频率系数fk*与h2的关系（L =100mm）
Fig. 3 Variation of the frequencycoefficients fk* with the thickness h2for the first 5 modes (L =100mm)
。
图4模态频率系数fk*与h2的关系（L =300mm）
Fig. 4 Variation of thefrequency coefficients fk* with the thickness h2for the first 5 modes (L =300mm)
图3给出了L=100mm, MRE梁在无磁场和有磁场作用的前几阶模态的频率系数fk*与MRE厚度h2的关系（图中MRE表示磁场作用下，G增大60%，下文均同此），定义fk*为第k阶模态在不同h2时的频率fk与该阶模态在h2=2mm时频率的比。图示表明，对第1，2模态，固有频率随h2增加而增加，而第4，5模态正相反。当h2较小时，增加h2对梁的固有频率影响较明显，在h2大于某个厚度后，各阶固有频率变化较小。
图4给出了L=300mm与L=100mm类似的关系。结合图2和图3发现频率，梁的长度不同，h2对各阶模态频率的影响规律有些不同。L=300mm时，在h2较小时，各阶模态频率随h2增加而增加，其他大部分规律与L=100mm类似。
以上分析表明，应用MRE梁时，h2不能过小，也没必要过大。选择合适的厚度就可获得理想的频率调谐比。另一方面也表明，当需要保持吸振器的频率不变，而需要提高吸振器与主结构的质量比值时，可通过增加MRE厚度来实现，而其他吸振器（如集中质量吸振器）增加了质量则相应会引起吸振器固有频率改变。
3 结论
1）当h2较小时，增加h2对梁的固有频率影响较明显，不同长度的模态频率的变化规律稍有不同。在h2大于某个厚度后，各阶固有频率变化较小。
2）在当h2较小时，各阶模态调谐比不高，且差异较大。增加h2，调谐比s上升较快，但在h2大于某个厚度后，调谐比增加缓慢。当h2非常厚时，各模态的调谐比s几乎相同，在MRE剪切模量增加60%时，s约增加20多个百分数，只是各阶模态达到此极值之前，调谐比随h2的增长速度不同。
3）应用MRE梁时，h2不能过小，也没必要过大。选择较小的厚度，其调谐比就可接近最大调谐比。当需要保持吸振器的频率不变，而需要提高吸振器与主结构的质量比值时，可通过增加MRE厚度来实现。
4）采用约束MRE梁式分布吸振器有可能实现跨越多个模态的更宽频域的振动控制。
参考文献：
[1]GinderJM, Schlotter WF, Nichols ME. Magnetorheological elastomers in tunablevibration absorbers[J]. Proc SPIE 2001,4331:103–110
[2]Stepanov G , Abramchuk S, Grishin D et al. Effect of a homogeneous magneticfield on the viscoelasticbehavior of magnetic elastomers[J]. Polymer, 2007,48:488-495
[3]ZhouGY , Wang Q. Use of magnetorheological elastomer in an adaptive sandwichbeam with conductive skins.Part I: Magnetoelastic loads in conductive skins[J].International Journal of Solids and Structures ,2006,43: 5386–5402
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