论文导读：下面以如图1所示的三杆框架结构为例作简单比较。以结构重量最小为目标的框架结构尺寸优化问题。简称为w-w算法。算法，精确频率约束下框架结构的尺寸优化。
关键词：框架结构，尺寸优化，精确频率约束，w-w算法
1 引言
杆系结构是土木、航空航天、机械工程中常见的一类承载结构。特别适合应用于运载火箭、卫星等空间飞行器及雷达、自动跟踪仪等伺服装备等的主承力结构。此类结构往往要求结构或装备的固有频率远离激振力的频率或伺服系统的系统频率带宽，以避免结构共振现象的发生。提高结构的基频是改善这类结构动力特性的重要途径。如大型跟踪雷达和可动射电望远镜的天线结构设计中，一般要求结构的固有频率落在系统伺服带宽的3-5倍以外。现代结构优化技术为提高结构和装备的动力性能提供了有力的实现工具。论文格式，w-w算法。
在结构动力特性优化的初期采用的是分布参数设计法，它属于解析方法。Niordson率先应用此种方法研究了简支梁基频最大化的设计问题，Karihaloo利用分布参数法对悬臂梁进行了频率优化设计。由于分布参数设计法面临着求解偏微分方程的困难，该方法仅适用于一些像简支梁、悬臂梁等的简单结构。后来国内外多名学者在结构动力性能优化方面进行了拓展。Olhoff 和 Rozvany[1]对本征频率约束下的刚架构型优化开展了最早的研究，但限于对加筋板条的尺寸和几何位置的优化设计。Vanderplats等基于特征值相对于梁截面近似线性的性质，提出一种有效的近似方法对频率约束下的框架结构进行了优化设计。钟万勰等[2]提出射线步可行性调整和约束负补偿粗糙搜索两个对序列线性规划算法（SLP）的改进，并用于求解满足瞬态动力约束的结构优化设计问题。程耿东等[3]将序列二次规划法应用于受到多阶固有频率和动力响应约束的结构优化设计，构造了一种交替执行调频步与减重步的迭代算法。论文格式，w-w算法。研究工作中，结构动力学设计的范围不仅有单一的频率优化[4-8]，也有多阶频率优化[9,10]；同时考虑多阶固有频率及振型节点位置要求的结构优化[11,12]。至于动力学优化设计的对象，也开始由常用的截面优化，发展到形状优化[13,14]，形状和截面尺寸的联合优化[15]及拓扑优化[16-19]。
另一方面，结构优化由于需要大量的迭代，反复调用结构分析程序而耗费大量的计算时间和计算资源，因而希望用于优化设计的结构单元划分越少越好，同时结构分析要保持较高的精度。经典的梁单元列式中，采用三次多项式形函数描述梁单元振动模态，为了获得足够的计算精度，往往需要将每根杆件划分为多个梁单元，特别是计算高阶响应的时候，但这无疑大大增加了计算量。
结构优化以结构分析为基础。结构分析所求解的数学问题是基于一定假设的力学模型抽象建立得到的，这些模型要求结构的几何参数的值在一定范围内。因此采用一个精确的分析模型，对于在相当大范围内变化的结构几何参数也能适用，这样得到的最优设计往往可以成为比较各种近似方法精度的标准考题。
为此，本文采用Kolousek[20]和Howson[21]在20世纪70年代提出的Bernoulli-Euler梁的动力刚度矩阵法，精确计算由梁单元组成的框架结构的自振频率。本文以这一精确动力学分析模型为基础，以w-w算法高效求解频率方程，以重量为目标、基频为约束。论文格式，w-w算法。比较了考虑集中质量与不考虑集中质量对优化结果的影响。通过2个算例验证了本文优化模型和精确算法的有效性。
2. 杆系结构的精确频率分析的动力刚度法
Kolousek[20]和Howson[21]在20世纪70年代就提出了Bernoulli-Euler梁的动力单元刚度矩阵形式如下：
(1)
其中 ，E为材料的弹性模量，A为梁的横截面积， 为材料密度， 为梁截面转动惯量， 为结构圆频率， 为杆长。
 (2)
以上是动力单元刚度阵（简称单刚）在局部坐标下的表达式，总体坐标下梁单元的动力刚度控制方程式（3）所示。方程（3）由于采用了解析推导的超越函数作为有限单元的插值函数，无论一根杆件多长，只需划分一个动力有限单元即可精确地计算出结构的所有阶频率。
 （3）
K为结构总的动力刚度阵，是频率的超越函数，U是节点位移。式(3)是个非线性特征值问题，本文采用了Williams和Witricks[22-24]提出的w-w算法来求解上述超越方程。该方法基于特征值计数技术，可以保证某阶频率的精确求解，而不会发生丢根、漏根的现象。
2Wittrick-Williams计数法及Newton法回顾
2.1 w-w计数法
上世纪70年代Wittrick-Williams提出了求解动力问题的计数方法，简称为w-w算法。其基本思想是：在结构的所有频率中，低于某个给定值 的频率个数J由下面表达式给出：
 (4)
其中J0是所有单元当将其两端固定时低于的单元两端固定时的频率 数目，s{·}表示负号的计数个数， 表示用Gauss消元法将 消成上三角阵 后，主对角线上负元素的个数。
2.2 w-w计数法下的Newton法
由于W-W计数法并不直接计算频率的值，而是计算低于的频率个数，具体计算可以采用二分法或Newton法。二分法程序实现简单，但不能很好的求得结构的振型，而振型信息对于后续结构优化的灵敏度分析非常重要，因此本文中采用Newton法求解具体频率及其对应的振型。
Newton法计算频率的列式为：
（5）
 为频率区间 内精确的频率值， 为内近似解，这里取 引入记号：
3. 不同分析模型下频率计算结果的比较
下面以如图1所示的三杆框架结构为例作简单比较，材料常数为：E=2.1e+11Pa， ，假设梁截面为圆形截面，半径为 ，则面积 ，转动惯量 ，杆件长度 ，与水平方向夹角 。这里我们假设编号为2的两根梁具有相同的属性。
 
1/2 1 2 下一页 尾页 |
