论文导读：“极限”是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚 “数列也是函数”这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).
关键词：极限，数列，函数
极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.
数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.
数列极限1．定义
设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε （不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.
上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.
对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.
2．性质
收敛数列有如下性质：
（1）极限唯一性；
（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；
（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；
（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；
（5）保序性，即若 ， 且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.
定理1 （收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.
函数极限 1．定义
（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域 内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式 的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式 ，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作
上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为
1对：任意以两直线 为边界的带形区域；
2总：总存在（以点x0位中心的）半径；
3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；
4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.
（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.
2．性质
（1）极限唯一性；
（2）局部有界性
若 存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域 内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；
（3）局部保号性
若 ，则存在δ1>0，使得 时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；
（4）局部保序性
若， ，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.
定理2 函数f(x)当x→x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x→x0时的左、右极限都存在些相等，即
利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.
1.极限值为有限的情形：
（1）给定任意小正数ε；
（2）解不等式或，找δ或N；
（3）取定δ或N；
（4）令或，由或成立，推出 或.
2. 极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：
（1） 给定任意大正数G；
（2） 解不等式 ；
（3） 取定δ；
（4）令，由成立，推出 .
利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.
极限存在准则1．夹逼准则
（1）数列极限的夹逼准则
如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：
1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；
2
则数列{an}的极限存在，且  .
（2）函数极限的夹逼准则
（以x→x0和x→∞为例）如果
1 （或|x|>M）时，有
2 （或 ），则（或 ）
（3）一个重要不等式
时，
2．单调有界数列必有极限
3．柯西（Cauchy）极限存在准则
数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.
数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。
数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。
计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则
三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：
注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.
2. 利用已知极限
 ……
3. 利用泰勒公式
4. 利用迫敛性
5. 利用定积分求和式极限
6. 利用数列的递推关系计算极限
7. 利用级数的收敛性计算极限
8. 利用积分中值定理计算极限
计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.
极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题.
数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心.
数列极限1．定义
设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε （不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。论文大全，函数。。论文大全，函数。。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列.
上述定义的几何意义是：对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）.
对于正整数N 应该注意两点：其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可.
2．性质
收敛数列有如下性质：
（1）极限唯一性；
（2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列；
（3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A；
（4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0；
（5）保序性，即若 ，且A<B，则存在正整数N1，使得n>N1时an<bn，反之亦成立.
定理1 （收敛数列与其奇、偶项数列间的关系）数列{an}收敛于a的充分必要条件是它的奇数项数列{a2k-1}和偶数项数列{a2k}都收敛，且收敛于a.
函数极限 1．定义
（1）自变量趋于有限值时函数的极限：函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得对于满足不等式的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式，则常数A为函数f(x)在x→x0时的极限，记作
上述定义的几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为
1对：任意以两直线为边界的带形区域；
2总：总存在（以点x0位中心的）半径；
3当时：当点x位于以点x0位中心的δ空心邻域内时；
4有：相应的函数f(x)的图像位于这个带形区域之内.
（2）自变量趋于无穷大时函数的极限：设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义，如果任给ε>0，总存在着正数Χ，使得对于适合不等式|x|>Χ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作
并称y=A为函数y=f(x)的图形的水平渐近线.
2．性质
（1）极限唯一性；
（2）局部有界性
若存在，则存在δ1>0，使得f(x)在去心邻域内是有界的，当x趋于无穷大时，亦成立；
（3）局部保号性
若，则存在δ1>0，使得时，f(x)>0，当x趋于无穷大时，亦成立；
（4）局部保序性
若，，且A<B，则存在δ1>0，使得时f(x)<g(x)，当x趋于无穷大时，亦成立.
定理2 函数f(x)当x→x0时，极限存在的充分必要条件是函数f(x)当x→x0时的左、右极限都存在些相等，即
利用定义证明极限下面介绍用“ε-δ（或N）”证明极限的一般步骤.
1.极限值为有限的情形：
（1）给定任意小正数ε；
（2）解不等式或，找δ或N；
（3）取定δ或N；
（4）令或，由或成立，推出或.
2. 极限值为无穷大的情形（仅以极限为+∞与自变量为例）：
（1） 给定任意大正数G；
（2） 解不等式；
（3） 取定δ；
（4）令，由成立，推出.
利用极限的定义证明问题关键是步骤（2），应该非常清楚从哪一种形式的不等式推起，最后得到一个什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.
极限存在准则1．夹逼准则
（1）数列极限的夹逼准则
如果数列{an}，{bn}及{cn}满足下列条件：
1存在N，n>N时，bn≤an≤cn；
2
则数列{an}的极限存在，且 .
（2）函数极限的夹逼准则
（以x→x0和x→∞为例）如果
1（或|x|>M）时，有
2（或），则（或）
（3）一个重要不等式
时，
2．单调有界数列必有极限
3．柯西（Cauchy）极限存在准则
数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m，n>N时，有|xn-xm|<ε.
数列极限与函数极限的联系数列可看作一个定义域为自然数集的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值, 其解析表达式为an=f(n)；函数是连续的,数列相当于一个函数中的一些独立的点，表现在图形上数列是无数的点，而函数是一段曲线；把数列中的n用x来替换后如果函数f(x)存在极限则数列也必定有极限，但是反之不成立。论文大全，函数。。
数列{an}的极限一般都是指n的变化使得极限值的产生，而n是一个正整数，函数的极限中自变量x可以趋向任何值，由此可知函数的极限更广泛。
计算极限的常用方法1. 利用洛必达法则
三这是最常用的方法，主要针对未定型极限：
注意与其他工具（无穷小代换、变量代换、不定式因子的分离、各种恒等变形、泰勒公式等）相结合.
2. 利用已知极限
……
3. 利用泰勒公式
4. 利用迫敛性
5. 利用定积分求和式极限
6. 利用数列的递推关系计算极限
7. 利用级数的收敛性计算极限
8. 利用积分中值定理计算极限
计算数列和函数极限的关键是综合运用各种计算极限的方法，并不断总结，才能较好地掌握计算极限的方法.
参考文献1.CalculusandItsApplications(EighthEdition)，(美)MarvinL.Bittinger著，杨奇毛云英译，机械工业出版社，2006.7
2.高等数学—及其教学软件（第二版），上海交通大学编，科学出版社，2005.6
3.微积分（Ⅰ），清华大学数学科学系《微积分》编写组，清华大学出版社，2004.2
4.数学分析选讲，徐新亚夏海峰著，同济大学出版社，2008.8
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