摘要：目标意识是一种重要的思维策略．在数学归纳法中，目标意识的作用特别重要．本文结合实例，对数学归纳法中目标意识的定向、调控、选择、推理、化简、验证等作用，分别进行了介绍和论述．
论文关键词：数学,归纳法,目标意识,思维策略
一、目标意识的定向作用
例1（1998年高考题文）用数学归纳法证明：
证明：⑴当n=1时，左边 ，右边 ，∴n=1时，等式成立．
⑵假设n=k时，等式成立，即
对上式两边同时加上 得：
即当n=k+1时,等式成立.由⑴、⑵知，对任意的 ，等式都有成立．
评析：上述数学归纳法证明过程中，为什么只有在等式两端同时加上一项
 ，才能使证明过程比较简捷？这是由解题目标决定的．在思考第二步证明过程时，可先将n=k+1时要证明的等式：
事先写出，作为目标，然后与n=k时假设成立的等式
 
进行比较，就会发现n=k+1时成立的等式左边多了一项 ，所以，证明时应该在假设成立的等式两端同时加上这一项，从而确定了证明过程的思维方向，这正是上述证明方法的来由．这就是目标意识的定向作用．
二、目标意识的调控作用
例2（1993年高考题理）已知数列： ，Sn为其前n项和，经过计算得： ，观察上述结果，推测出Sn的计算公式,并用数学归纳法加以证明．
解：由已经计算的结果可以推测出： ．现在对上式用数学归纳法进行证明：
⑴当n=1时，等式已经成立．
⑵假设n=k时，等式 成立．当n=k+1时，
所以当n=k+1时，等式成立．由⑴、⑵知对所有的自然数n,等式都有成立．
评析：把要证明的等式 作为目标，注意到等式右边有“1”的特征，就应该在证明过程中始终把“1”保持不变．这样就会使证明过程更简单一些，从而有效地把握和控制了证明思路，这就是目标意识的调控作用．
三、目标意识的选择作用
例3用数学归纳法证明：“ ， ”的过程中，从假设n=k成立到证明n=k+1成立时，在等式两端需要乘的是（ ）．
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
分析:先把n=k+1时要证明的等式
写出来当作目标,然后与n=k时假设成立的等式
进行对比,就会发现两个等式左面的差异,由此可知需要乘的代数式是．所应该选（Ｃ）．这就是目标意识的选择作用．
四、目标意识的分析作用
例4（1992年高考题理）证明不等式： 
证明：⑴当n=1时，左面=1，右面=2，不等式成立．
⑵假设n=k时，不等式成立，即
 ，对此式两端同时加上 得：
 ，
又 ，
  ．
即当n=k+1时，不等式也成立．由⑴、⑵知对于任意 ，不等式都成立．
评析：上述证明过程中，对分子进行放大
 这一步是不容易想到的．对此可以用目标意识进行分析．先把写出n=k+1时要证明的不等式 ，并作为目标，观察不等式右面就可以看出，必须证明不等式 成立，即只需证明不等式，即证明 ．由基本不等式知，最后这个不等式成立．
这样用目标意识进行逆向分析，就能迅速找到解题思路，较快地解决关键的一步．这就是目标意识的分析作用．
五、目标意识的推理作用
例4用数学归纳法证明： （）
证明：⑴当n=1时，左面= ，右面= ， 成立．
⑵假设n=k时， 成立．当n=k+1时，因为
即当n=k+1时，不等式也成立．由⑴、⑵知对于任意，不等式都成立．
评析：在上述证明过程中，只所以要用不等式 、 进行放大消去 、 ．这是因为要证明的目标不等式 的右面没有、．可见利用目标意识就能正确推理，使证明过程能够顺利进行．这就是目标意识的推理作用．
六、目标意识的化简作用
例4设sinα≠0,对于任意用数学归纳法证明：
 ．
证明：⑴当n=1时，左面= ，右面= ，等式成立．
⑵假设n=k时，等式成立，即
 ．当n=k+1时，就有
 
这就是说,当n=k+1时，等式也成立．根据⑴、⑵知对于任意，等式都成立．
评析：这是高中代数课本下册等121页的内容，课本中给出的证明过程有点繁．如果运用目标意识进行分析，那么就能简化证明过程．先把n=k+1时，要证明的等式
写出作为目标，进行观察，因为上式右边的分子中有 ,所以在证明过程中就应该把保留，按下面的方法进行变形：
这样就会使证明过程简单一些，这就是目标意识的化简作用．
七、目标意识的验证作用
例7（1989年高考题）是否存在常数a、b、c使得等式：
 对于一切自然数n都成立，并用证明你的结论．
解：分别取n=1、2、3，就可以求得a=3、b=11、c=10，于是对于n=1、2、3等式
 成立．
下面用数学归纳法证明对于一切自然数n，这个等式都成立．
⑴当n=1时，等式已经成立．
⑵假设n=k时，等式成立，即
当n=k+1时,对上式两端同时加上 得：
评析：在上述证明过程进行到倒数第二步时，即得到 时，不容易判断推理过程是否正确．这时就可以先把要证明的等式写出来：
作为目标，并将右边方括号中的 展开并化简 然后相互进行比较，就能验证推理过程是否正确．这就是目标意识的验证作用．
参考文献：
1、曹平原 《目标意识在数学归纳法中的作用》（数学大世界）1999年第3期．
2、曾晓新 乌玫 《分析目标比较差异实现解题》（数学通讯）1999年第９期．
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