巧构三角形简证不等式

论文摘要：巧构三角形 简证不等式

论文关键词：巧构三角形 不等式

　　解答一道数学题，如果直接从条件到结论用定势思维去探索解题途径比较困难时，可以根据题设及其特点，用已知条件中的元素为元件，用已知的数学关系为支架，通过联想，展开丰富的想象，构造出方程、函数、数列、复数及其新的图形，从而得到新颖独特的解题方法，这就是构造性解法。这样常使数学解题突破常规，另辟蹊径，具有简捷、明快、简明的优点，下面是我在教学中通过构造单调函数的方法来解题，从而使好多复杂的问题得到简化的一点体会。

例1、求证|sinα|+|cosα|≥1

解：在单位圆中作α角,则α的终边与单位圆的交点为A ,过A 点作X轴的垂线,垂足为M,由正弦线与余弦线的定义知|sinα|，|cosα|分别为α对应的正弦线OM和余弦线AM，而单位圆的半径恰为OA=1，在三角形OAM中OM+AM>OA,即|sinα|+|cosα|＞1，当α角的终边与坐标轴重合时，三角形变为一条线，取等号

                           Y

                                     A

                                 α

O          M    X

例2在高中数学竞赛上有一题,设0<a,b<1,证明+++≥2

解:此题可以看成为正方形内任一点P到四个顶点,即到O(0,0),A(0,1),C(1,0),代写硕士论文B(1,1)的距离,即证PO+PA+PC+PB≥2如图所示

                       A    P  B

                      O      C

设P点的坐标为(a,b),因为P在正方形的内部,所以0<a,b<1,连接PA,PO,PC,PB,OB,AC

在三角形PAC与POB中PA+PC>AC,PO+PB>OB

所以PA+PC+PB+PO>AC+OB,而AC与OB为正方形的对角线,故AC=OB=

即PA+PB+PC+PO>2,当P点为AC与OB的交点时,取等号,此题得证

例3  求证不管x为何值时,下列不等式恒成立

+≥4

证明:把此式子变形为+≥4

这可以看作是直角坐标系中动点P(x,0)到A(1,1),与B(5,3)的距离之和.作出A关于x轴对称点A’(1,-1),则A^’B和x 轴的交点C(2,0)到A,B的距离之和最小,且最小值为4,所以上式成立.如图所示

                         B(5,3)

                A(1,1)

 P             

C(2,0)  X

              A’(1,-1)

在x轴上任取一点P,要证不等式成立,只要证PA+PB≥CA+CB即可

由对称性的性质知:PA=PA’,CA=CA’而在三角形PA’B中,显然有PA’+PB>A’B

而A’B=CA’+CB=CA+CB＝4

所以PA+PB>AB当Ｐ为ＡＢ上的点Ｃ重合时取等号