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转化思想在数学解题中的应用

时间:2016-04-29  作者:刘天程

转化思想在数学解题中的应用
论文关键词:转化思想,数学,解题

【例1】 证明:在任给的8个不同的实数 转化思想中,至少存在两个实数使得不等式:

转化思想在数学解题中的应用

成立。(1994年四川省高中数学联赛试题)

转化思想在数学解题中的应用

转化思想在数学解题中的应用转化思想

小结:本题是典型的将代数中的不等式证明问题转化为三角函数问题,将复杂的代数式利用三角函数中的特殊关系化简成简单的一个函数,所以在平时的学习中要深刻理解留心观察所学的各种“工具”的概念和性质。

【例2】

分析:首先化简不等式使其尽可能的简单 ,

解题转化思想在数学解题中的应用

数学小结: 本题是典型数形结合中将代数问题几何化,代数中的问题往往转化成几何图形解决比较简单。

解题【例3】如图对角线将梯形分成四部分比较

面积大小。

(2004年江苏省淮安市中学数学联考)

分析:

解题

小结:本题是将几乎无法入手的几何问题转化为代数计算,而利用几何的变换、平移、割补等解决比较困难。所以在转化思想运用的时候要明确转化的目的—使问题简单,而不能机械的模仿肆意的转化,具体问题具体对待。

【例4】

若m、n、p同时满足下面二式:解题,求数学的取值范围。

分析:直接利用已知条件中的两个等式得到转化思想的取值范围不好下手,如果换个角度考虑数学可变形为转化思想在数学解题中的应用,令解题,则已知条件可转化为方程组转化思想在数学解题中的应用,进而找到a、b与c的关系,可以确定所求式子的取值范围。

解:设转化思想在数学解题中的应用,则

转化思想在数学解题中的应用

由(1)、(2)可得

数学 (3)

转化思想在数学解题中的应用 (4)

此时,转化思想 (5)

数学由(3)得

解题,由(4)得

转化思想

由(5)得 数学

【例5】

甲乙两个老朋友相遇寒暄一番,甲说“我有三个孩子,他们年龄的乘积是36,年龄之和是相遇地点时旁边一座楼窗子数量,问孩子的年龄各是多少?”乙说“还不能确定。”甲补充说:“岁数最大的是黑头发。”乙立刻说出答案。问甲的孩子年龄各是多大?

(苏州大学数学科学学院周士藩教授讲座)

1

1

36

38

1

2

18

21

1

3

12

16

1

4

9

14

1

6

6

13

2

2

9

13

2

3

6

11

3

3

4

10

分析:乘积是36的数有:

而当乙说“还不能确定。数学论文”时

我们可以得知答案是1.6.6和

2.2.9中的一个。因为相遇地点

时旁边一座楼窗子数量是一定

的,即孩子们年龄之和是一定

的。而乙说不确定,我们可以推断和是多个。又因为甲说:“岁数最大的是黑头发。”只有2 2 9 有最大的。

小结:本题是巧妙的将未知问题转化为已知问题,透过题目表象推出题目中隐含信息。

转化思想可以说贯穿数学的始末,在数学学习中几乎处处可见。通常有:数形结合、未知问题已知化、动静转化、图形形状、位置的转化等。在平时学习中应注重题型、归纳多留心观察思考!

思考与练习:

1、证明:在任给的7个不同的实数 数学中,至少存在两个实数使得不等式:转化思想成立。

2、如图,中,BC=4,解题

P为BC上一点,过点P作PD//AB,交AC于D。

连结AP,问点P在BC上何处时,面积最大?

3、甲 乙两人同时分别从A、B两地出发,沿连 接这两地的道路向另一地前行,这段道路长为18千米,甲的速度为4千米/小时,乙的速度为5千米/刁、时,同时,甲带的小狗以7.5千米/小时的速度奔向乙,小狗遇乙后又立即回头奔向甲,遇甲后又立即奔向乙,⋯⋯,直到甲、乙相遇,求小狗在这段时间所走的总路。


参考文献
朱汉林主编数学竞赛讲座.苏州大学出版社.2000
江苏省淮安市中学测试题汇编.2004
新人教.数学转化思想.2008
周士藩.数学讲座试题.2007
魏华斌.数学中常用的5种转化思想.2008

 

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