论文导读：比较法是证明不等式最基本最重的方法。有求差比较法和求商比较法两种途径。这种证明方法就是分析法。综合法是利用某些已经证明过的不等式的性质推导出所要证明的不等式成立。比较法，不等式的证明。
关键词：不等式，比较法，分析法，综合法
一、不等式的性质定理
定理1 a﹥b ＜＝＞ b﹤a
定理2 a﹥b  ＝＞ a﹥c
b﹥c
定理3 a﹥b＝＞a+c﹥b+c
定理4 a﹥b, c﹥0＝＞ac﹥bc
a﹥b, c﹤0＝＞ac﹤bc
定理5 a﹥b﹥c＝＞ 〉
二、不等式的初等证法
1、比较法
比较法是证明不等式最基本最重的方法，有求差比较法和求商比较法两种途径。论文写作，比较法。
<1>求差比较法
由于a﹥b = a-b﹥0因此证明a﹥b 可转化为与之等所的a-b﹥0这就是求差较法。
求差比较法的基本步骤是：作差——变形——断号
用求差比较法时把所得的差作合理的变形（配方、通分等）化为易于判断符号（﹥0或﹤0）的式子是证题的关键,通常用于两差是一个次数较高的多项式或分式这一类不等式的证明
例 求证x2+3﹥3x
证明：∵ （x2+3）-3x=x2-3x+（3/2）2+3/4
=（x-3/2）2+3/4
≥3/4﹥0
∴ x2+3﹥3x (配方法)
例已知a、b、m都是正整数，并且a﹤b，求证a+m/b+m﹥a/b
证明：a+m/b+m- a/b=b(a+m)-a(b+m) /b(b+m)=m(b-a)/b(b+m)
∵ a、b、m都是正数，且a﹤b
∴ b+m﹥0b-a﹥0
∴m(b-a)/b(b+m) ﹥0即a+m/b+m﹥a/b (通分法)
<2>求商比较法
由于当b﹥0时，a﹥b＜＝＞a/b﹥1因此证明a﹥b可能化为证明与之等价的a/b﹥1（b﹥0）这种证明就是求商比较法。
作商比较法的基本步骤，作商——变形——判断商式与1大小 .作商比较法般用于等号两侧的式子同号的不等式的证明适用于两边都是幂的形式的不等式。论文写作，比较法。
例：已知a、b、c﹥0求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b
证明：∵a2a b2b c2c/ a b+c b c+a c a+b＝a2a-b-c b2b-c-ac2c-a-b≥0
∴a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b
2、分析法：
从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法。
分析法的思路是执果导因。
分析法是证明不等式时一种常用的基本方法，当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法从而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效。
例：已知0﹤a﹤b求证a/b﹤a+1/b+1
证明：欲证a/b﹤a+1/b+1 因为a〉0 b+1〉0
只需证：a(b+1)﹤b(a+1)
即证：ab+a﹤ab+b
即证：a﹤b
∵ a﹤b成立，∴a/b﹤a+1/b+1成立。论文写作，比较法。
3、综合法
综合法是利用某些已经证明过的不等式的性质推导出所要证明的不等式成立。
综合的思路是“由因导果”是分析法证明不等式的逆运算。
例：已知a、b R+，S求证a/b+b/a≥a+b
证明：∵ +  2 ， +2
∴ + + +2（ +）
∴ ++
4、反证法
当用直接证法比较的困难时可以用反证法，反证法的步骤首先是否定结论，要找准结论的反面，然后根据题设或定理化理推出矛盾，即结论的反面不成立。
例：已知p、q R且=P3+q3=2求证：P+q≤2
证明：设P+q﹥2则q﹥2-P ∴q3﹥8-12p+6p2
P3+q3﹥8-12P+6P2=2+6（p-1）2≥2
与题：P3+q3=2矛盾 所以只能是P+q≤2
5、数学归纳法
例：设非负数x1、x2…xn满足不等式x1+x2+…+xn-1+ xn≤1/2
求证：（1-x1）（1-x2）…（1-xn-1）（1-xn）≥1/2
证明：当n=1时，结果显然成立。
假设命题对n=k时成立，即非负实数x1、x2…xn满足x1+x2+…我们证明（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）≥1/2式分现设x1、x2…xk 、xk 为k+1个非负数，满足x1+x2+。。。+xk+xk+1≤1/2我们证明（1-x1）（1-x2）。。。论文写作，比较法。（1-xk）（1-xk+1）≥1/2对K+1个非负实数x1、x2。。论文写作，比较法。。论文写作，比较法。xk+1，我们令xk =xk+xk+1 显然xk≥0且x1+x2+…+ xk= x1+x2+…+（xk+xk+1）≤1/2
根据归的假设有（1-x1）（1-x2）。。。（1-xk+1）（1-xk）≥1/2
又因为xk、xk+1≥0所以1-x=1-x1—xk+1
≤1-xk—xk+1+xk﹒xk+1
=（1-xk）（1-xk+1）
所以（1-x1）（1-x2）。。。（1-xk）（1-xk+1）≥（1-x1）（1-x2）。。。（1-xk-1）（1-x）≥1/2
即n=K+1时命题也成立 所以对一切自然数n命题均成立。
6、换元法
换方法中应用三角函数将代数式化成了三角式结合三角公式以及三角数中正函数的有界性，可以证明简练。
例：已知x2+ y2=1 x、y R求证：- ≤ax+by≤
证明：∵x2+ y2=1 ∴设x=cos y=sin (0≤﹤2 )
则ax+by=acos+bsin=sin (+ )
其中sin= cos=
由三角函数的有界性可得
︱ax+by︳=︱sin (+)︱
∴ -≤ ax+by≤
7、构造法
例：已知a、b、m R+且a﹤b求证a+m/b+m﹥a/b
证明：令f(x)=a+x/b+x，其中x R+，0﹤a﹤b
f(x)=b+x-b+a/b+x=1+b-a∕b+x
∵ b-a﹥0 ∴y=b-a/b+x在R+上为减函数
因而f(x)=a+x/b+x为增函数（R+上）
m﹥0 f(m)﹥(0)即a+m/b+m﹥a/b
8、放缩法
例：已知p﹥0 q﹥0 且p3+ q3=2求证p+q≤2
证明：∵p3+q3=（p+q）(p2-pq+q2)
≥(p+q)〔(p+q) 2-3(P+q) 2∕4〕
=(p+q)3∕4
∴(p+q) 3≤8
∵p﹥0 q﹥0 ∴p+q≤2
参考文献:
[1]作者:刘玉琏傅肺仁林玎苑德馨刘宁数学分析讲义（第四版）
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