论文导读：讨论一类具有对称性的二阶微分方程异宿轨道的存在性和唯一性.
关键词：变分法，二阶微分方程，异宿轨道
1 引言
异宿轨道的研究在冲击波和孤立波问题中得到充分的重视[1],它在微分系统定性分析中作为特殊的不变集也有非常重要的地位,也因此受到广泛关注,也确的大量研究成果.本文将用变分方法讨论一类二阶微分方程
 (ODE1)
异宿轨道的存在性问题.对于一些偏微分方程,如KdV方程、非线性Schrǒdinger方程等,当考虑对于一个空间变量与一个时间变量情形下的某种特殊解(如行波解)时,可以转化为这类常微分方程[2],它也是构成二阶动力系统的基本常微分方程.因而分析这类方程的公共特性,找出其异宿轨道存在的条件,对分析众多具体物理方程的异宿轨道有极其重要的作用.
本文所讨论的异宿轨道是指方程(ODE1)满足 的解.假设方程(ODE1)满足如下条件：
（P1）
(P2)  
(P3) 是大于1的实数;
(P4)
我们的主要结果是：
定理1 若下列问题
 （1.1)
满足条件(P1)～(P4),则它存在唯一的解 ,即方程(ODE1)存在唯一的异宿轨道, 为奇的严格增函数.
2 重要引理
考虑如下问题
 (2.1)
当 时，问题(2.1)的极限正是问题(1.1)的解.然而,问题(2.1)的解主要依靠下列问题
 （2.2）
的解.因此,在证明定理(1.1)之前,我们需要先给出两个重要的引理[3].
引理1 若问题(2.2)满足条件(P1)～(P4),其中 ,则存在唯一正解,为增函数.
证明 显然 是问题(2.2)的一个上解,同时 是问题(2.2)的一个下解,这里的 为充分小的常数.由最大值原理[4]知问题(2.2)的任意解在区间 都满足 ,这说明问题(2.2)存在一正解.
下面证明唯一性.由上下解方法[5]知道问题(2.2)的解中存在一个最大解,令为.假设 是问题(2.2)的另一任意解,则有 .由于是(2.2 ) 的解,则
 (2.3)
用v乘(2.2)中的方程,并用u乘(2.3)式,积分并相减得
化解得: 
这意味着一定有 ,所以问题(2.2)只有唯一解.
最后证明是增函数. 假设不是单调函数,则存在一个极小值点 那么 且 ,这显然和(2.2)式矛盾.
引理2 如果问题(2.1)满足条件(P1)～(P4),则有唯一解,为递增的奇函数.
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