论文导读:：利用MATLAB强大的绘图功能(4):。基于MATLAB的锁相环非线性分析。
论文关键词：锁相环，微分方程法，非线性，MATLAB
引言：锁相环是一种相位反馈的闭环自动控制系统[1]，环路锁定之后，平均稳态频差等于零， 稳态相差为固定值，锁相环的这一重要特征使其在电视、 通信、 雷达、遥测遥感、 测量仪表，特别是在人造卫星和宇宙飞船的无线电系统中，得到了广泛应用[2]。近年来，锁相环路的研究日趋深入，应用更加广泛。由于鉴相器模型是非线性的，所以锁相环是一个非线性系统[3]，很难用传统的解析方法来分析微分方程法，因而我们求助于仿真。下面我们使用微分方程法来分析一个二阶锁相环的非线性特性。
1.锁相环模型
1.1锁相环框图
锁相环基本模型如图1所示[4]。假设输入信号为
 （1）
而压控振荡器的输出信号表达式假设为
 （2）
锁相环的就是使VCO的相位与输入信号的相位同步，使得他们的相位差很小[5]
图1.锁相环框图
1.2鉴相器模型
开发锁相环模型的第一步就是建立鉴相器的模型。鉴相器的特性在很大程度上决定着锁相环的工作特性[6]。有许多种不同类型的鉴相器，而选择在特定环境下所使用的鉴相器模型取决于具体的应用。最常见的鉴相器模型就是正弦鉴相器，它的输出与输入信号的相位差的正弦成正比。正弦鉴相器可以看成是有一个乘法器和一个低通滤波器组成的[7]，则鉴相器输出信号为
 （3）
其中， 称为相位差论文开题报告范文。我们希望VCO的输出相位是输入相位的一个估计，因此，锁相环正常工作要求相位差趋于零。在稳态时，相位差是否为零取决于输入信号和环路滤波器[8] 。 使用传递函数为F(s)而单位冲击响应为f(t) 的环路滤波器，对鉴
相器输出进行滤波。这样，VCO的输入为
 （4）
由定义，VCO的输出频率偏差与VCO的输入信号成正比，这样
 （5）
式中， 是VCO常数，单位 。带入上面式子可得到
 （6）
式中 。
1.3非线性相位模型
从6式可以看出， 与 之间的关系与载波频率完全没有关系，因此仿真模型中不需要考虑载波频率。我们要寻找一个能描述与之间合适关系的模型。这种模型如图2所示，称为锁相环非线性相位模型。由于正弦函数是非线性的，所以他是一种非线性模型。这也是一种相位模型，他建立的输入信号相位偏差和VCO相位偏差之间的关系，而不是建立环路实际输入信号与VCO信号之间的关系[9]。
图2. 锁相环非线性相位模型
1.4线性相位模型和传递函数
若相位差很小，可以做如下近似
 （7）
则环路方程变为
 （8）
对（8）式做拉普拉斯变换，积分变换相当除以s微分方程法，时域卷积相当频域相乘，得
 （9）
因此，关联VCO相位和输入相位的传递函数H(s)为
 （10）
2．仿真
2.1二阶锁相环
锁相环的捕捉和跟踪特性很大程度上取决于环路阶数[10]。锁相环实现的阶数等于传递函数H(s)中有限极点的个数。因此，锁相环实现的阶数比环路滤波器传递函数F(s)中极点个数大一，这个多出来的极点就是来及VCO模型的积分器[11]，下面我们分析一下二阶锁相环。
对于二阶锁相环，环路滤波器的传递函数一般形式是
 （11）
实际应用中， 远小于1。对于环路线性传递函数，将滤波器传递函数代入式（10）得
 （12）
2.2仿真流程图
环路滤波器不是一个真分式函数，应用长除法得
 （14）
其中就有
 （15）
其时域表达式为
 （16） 我们可以直接实现滤波器模型，并定义 ， 。可以得到二阶锁相环的信号流程，如图3所示。
图3. 二阶锁相环的信号流图
2.3.使用微分方程法对锁相环仿真
现在考虑使用微分方程法对锁相环进行仿真。首先导出微分方程。由图2可得
 （17）
因为图2中锁相环模型中的VCO能用一个积分器表示，于是就有
 （18）
把式（17）代入式（18），并应用式（11）于环路滤波器，则
 （19）
假设二阶环式是“理想的”（即=0），此问题可以得到一点简化。
 （19）
由于乘s等于时域微分，所以得到微分方程
 （20）
又由定义有
 （21）
和 （22）
于是式子（20）可以写成
 （23）
式中 是锁相环的相位差，而是输入信号的相位偏差论文开题报告范文。
3．仿真结果及分析
假设这个系统在 时刻有一个频率阶跃信号，此时 ，也即 ，其中 =1MHz。当=0.1，环路自由振荡频率 =200KHz微分方程法，则由上面的仿真模型可以得到以下结果。
3.1相位误差
稳态相位误差可以用拉普拉斯变换终值定理来计算[12]。环路的闭环相位传递函数为H(s)，则相位差传递函数为E(s)=1―H(s)，那么利用终值定理可以得到
 （24）
代入以上数据，可以得到 = 0.3755 rad，图4中稳态相位差的结果为0.384516 rad，因此，仿真结果和理论推导结论一致。
图4. 相位差
3.2捕获与跟踪过程
图5显示了VCO的输出信号频率的变化过程，能看到在频率捕获过程中的“周期
滑动”现象。这是在输入频率的变化大大超过环路的固有频率时，非线性同步器表现出来的特性。在图中我们也能看到相位锁定时所需要的时间。
图5. 输入频率和VCO输出频率
4.结语
本文通过建立锁相环的非线性相位模型，使用微分方程法，利用MATLAB仿真工具，从定量上分析了锁相环的非线性相位特性。从仿真图形可以看到，仿真结果与理论分析结果相吻合。通过这种分析方法，能为锁相环设计提供定量的分析，有助于电路的优化设计。
参考文献
[1]Donald R. Stephens. Phase-locked loopsfor wirelesscommunications[M].NewYork:KluwerAcademicPublisher, 2002:5-7
[2]Dan H. Wolaver. Phase-Locked LoopCircuit Design [M].New Jersey:Prentice Hall,1991:8-11
[3]RolandE.Best.Phase-LockedLoopsDesign,
simulation,andApplication[M].5.New
York.The McGraw-HillCompanies,2003:35-36
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