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求极限的方法与技巧

时间:2011-04-24  作者:秩名

论文导读:高等数学的教学不仅为学生传授数学精神、数学思想与方法等文化基础。对求极限的方法与技巧进行探讨。求极限的基本方法是利用极限定义、极限运算法则及极限的相关定理。
关键词:探讨,求极限,方法,技巧

 

高等数学是高职高专各专业的公共基础课,对理工类专业更为重要。高等数学的教学不仅为学生传授数学精神、数学思想与方法等文化基础,还为学生传授数学语言、符号、图像、计算、推理、建模等基本技能,也能培养学生的思维能力,为专业学习奠定一定基础,培养应用能力。极限是高等数学中最基本最重要的知识,它是导数、微分、积分的基础。因此,学好极限知识,对高等数学的学习至关重要。本文针对学生实际,为提高教学效果,对求极限的方法与技巧进行探讨。

求极限的基本方法是利用极限定义、极限运算法则及极限的相关定理,结合初等变换进行的。下面介绍几类不能直接用基本方法求解的极限问题。

一、变“无穷多个”为“有限多个”求极限

利用极限的四则运算法则求极限,不仅要求每个函数的极限存在,而且只能是有限多个函数的和差积的极限。若是求无限多个函数的极限,用恒等变换将“无限多个”函数的和差积变为“有限多个”函数的和差积后,再利用法则求出极限,或者将“无限多个”函数放大或缩小后,转化为“有限多个”函数,再利用夹逼定理求极限。

[例1] (0﹤﹤1)

本题为求无穷多个函数和的极限,观察发现,它们构成等比数列。用等比数列求和公式便可化“无限多个”函数之和为“有限多个”函数的四则运算,再利用极限的四则运算法则便可求出结果。

(0﹤﹤1)

[例2] 求极限

本题为求无穷多个函数乘积的极限,观察发现,余弦的角度均有二倍角关系。若乘以次利用正弦的倍角公式,便可化“无限多个”函数之积为“有限多个”函数之积,再利用第一个重要极限便可求出结果。论文大全。

[例3] 求极限

本题为求“无限多个”函数和的极限,但要将这无穷多个函数之和转化为有限多个函数的和,实在困难。只能将“无限多个”函数放大或缩小后,转化为“有限多个”函数,再利用夹逼定理求极限。论文大全。

由夹逼定理有

二、应用斯笃兹定理求极限

有些“无穷多项”极限问题,当不能利用恒等变换转化为有限多项时,若借助斯笃兹定理,就可迎刃而解了。

[例4] 求极限,p为自然数.

由斯笃兹定理,有

=

[例5]

由斯笃兹定理,有

三、利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用皮亚诺型余项。论文大全。当函数为分式时,一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式,再通过比较求出极限。

[例6] 求极限

[例7] 求极限

四、利用定积分求极限

有些无限多项的和或积的极限,可转化为定积分来求,更容易一些。

[例8] 求极限

五、利用级数的敛散条件求极限

我们知道收敛的必要条件.

逆用它可得.

[例9] 求极限

此外,还可用无穷小量的性质、导数定义、中值定理等求解极限,在此不一一赘述。


[参考文献]
[1] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 高等教育出版社.
[2] 刘玉琏,等. 数学分析讲义[M]. 高等教育出版.
[3] 孙清华,孙昊. 数学分析内容、方法与技巧[M]. 华中科技大学出版社.
 

 

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