式8a和8b描述了索洛全要素生产率的基本思想。索洛将总产出增长中无法由劳动投入增长和资本投入增长说明的部分归结为“技术变化”，在式（10a）和（10b）中表现为拟合余值 ，该余值也因此被称为“索洛余值”（Solow Residual），而这个索洛余值正是“全要素生产率”。[③]
（2）索洛关于美国全要素生产率的计算
索洛在全要素生产率理论采用了式（10b）的计算方法，创造性地应用国民经济核算体系，巧妙地解决了总量生产函数当中关于总量产出、资本时间序列数据获取问题，对美国1909-1949年的全要素生产率进行了研究。认为“A(t)序列的趋势是在强烈增长着”，“每一次世界大战后A(t)都要急剧地下降，就像在大战之前会急剧上升一样”。 索洛的测算结果表明，美国在1909年到1949年间年经济增长率中，人均资本增长占12.5%，其余部分是生产率提高的贡献，占87.5%。索洛关于美国全要素生产率研究成为里程碑式的事件，从此引发了国外长达几十年的关于全要素生产率的研究。索洛的研究揭示了经济增长是多种因素作用的结果，出了生产要素的投入之外，技术进步也同样起着重要的作用，技术进步可以在生产要素投入量不变的条件下使经济得到增长。
三、丹尼森关于全要素生产率的研究
诺贝尔经济学奖的获得者丹尼森（Edward F Denison）是另外一位对全要素生产率研究作出贡献的经济学家。其主要著作《美国经济增氏的因素和我们面临的抉择》、《增长率为何不同：九个西方国家战后的经验》、《低速经济增长的原因：20世纪70年代的美国经济》以及和乔根森争论的几篇论文对全要素生产率研究作出了卓越的贡献。[④]
（1）丹尼森关于全要素生产率的观点
丹尼森于1962年出版《美国经济增长因素和我们面临的选择》（又名《美国经济增长的源泉》）一书，对美国经济增长因素进行了详细地分析。丹尼森把经济增长因素归为两大类：一是生产要素投入量；二是生产要素生产率。在丹尼森看来，属于生产要素投入量的有劳动和资本两项，劳动变现为劳动在数量上的增长和质量上的提高，资本表现在数量上的增加。属于生产要素生产率的有三项，即资源配置的改善、节约的规模和知识的进展及其在生产上的应用。丹尼森认为，知识进展能使同样的生产要素投入量的产品所需的投入量减少，从而促进经济的增长。丹尼森同样重视教育在促进经济增长的重要作用。丹尼森具体估计了教育因素在美国经济增长中的重要性。丹尼森认为，由增加教育量而引起的劳动者的教育程度的提高，不但促进过去的经济增长，而且通过教育途径能改变未来的经济增长方式。同时，丹尼森还估计，将来生产率的提高将主要是由知识进展提供的，知识进展对于经济增长的重要性愈来愈显著。
（2）丹尼森对全要素生产率的测算与分解
丹尼森是研究增长核算的美国杰出学者，他在《美国经济增长的源泉》采用了增长核算的方法来测算全要素生产率，分析了美国二十世纪前期经济增长的路径论文下载。他在分析时选择了如下的函数形式：
 （11）
在(11)式中，Yt 代表GDP，At 代表技术水平或全要素生产率，Kt 和Lt代表t时期资本和劳动力两项生产要素的投入。
假设经济系统处于竞争状态，生产函数符合柯布-道格拉斯形式，并满足规模报酬不变的性质，对（11）式先取对数再求导， 就可得出增长核算的核心公式：
 （12）
其中dY/Y 表示年度产出的增长率，α和(1-α)是两个加权项，分别代表资本和劳动力在要素投入中所占的份额。这个公式将产出的增长分解为资本（dK/K）、劳动力（dL/L）和技术进步的增长（dA/A）之和，其中（dA/A）即为全要素生产率的增长率。[⑤]
丹尼森发展了“余值”的测算方法，主要是把投入要素分类更加细化随机前沿分析，把资本分类为：住宅建筑和住宅土地；非住宅建筑和设备；非住宅土地以及存货。在劳动投入分类中考虑了就业工作时间、劳动者教育、性别和年龄等因素，然后利用全数合成总投入指数。
丹尼森利用美国1905年到1957年的历史数据，首先估算出资本和劳动力报酬占国民经济收入的比率、GDP的年均增长率、资本和劳动力的年均增长率，然后将估算值代入增长核算的公式，其结论是：在美国年均2.9%的经济增长率中，有1.575%来自于资本和劳动力数量的增加，剩下1.325%是生产函数中要素投入的增长所不能解释的，也就是用传统经济分析方法估算劳动和资本对国民收入增长所起的作用时产生的大量未被认识的、不能由劳动和资本的投入来解释的“残差”，即来源于全要素生产率的变化。在研究过程中，丹尼森对投入要素进行了更为细致的划分，如将劳动投入分级为劳动时间、就业状况等因素，从而最终估算出美国1929到1948年TFP地国民收入增长的贡献为54.9%，显著低于索洛的估算。丹尼森的又一贡献是通过定量分析和令人信服的解释提出了一套分解“索洛余值”的方法。他将“索洛余值”中包含的因素分为规模经济效用、资源配置的改进和组织管理改善、知识上的延时效应以及资本和劳动力质量本身的提高等，这无论在理论上还是在现实上，都有其重要意义。
四、乔根森关于全要素生产率的研究
乔根森（Dale W. Jorgenson）在全要素生产率研究问题上有两大贡献。首先是乔根森采用超越对数生产函数的形式，在部门和总量两个层次上进行全要素生产率的测算；其次是乔根森把总量产出、资本投入与劳动投入进行了比丹尼森更加细致的分解，以保证“产出和投入的数量是精确地测量的”。[⑥][⑦]
（1）超越对数形式的生产率计量模型
1973年，乔根森等人提出“共轭对偶和超越对数生产函数”的计量方法，用于生产率的度量。他们所使用的基础模型仍是索洛总量生产函数 ，并假定它具有规模报酬不变的特征。
生产率增长率：  （12）
在历史数据支持下，用计量经济方法估计出以上各参数，并以此计算某一时期平均生产率增长率 ，即
（13）
由于超越对数生产函数中，引进了二次项，能使生产率增长率的估计提高精度。[⑧]
（2）对产出与投入要素的分解
乔根森的另一贡献是对产出与投入要素的有效分解，以保证数据的精确性。他在1967年发表的论文《生产率变化的解释》中，对产量与投入要素思想进行了较好的阐述，如劳动力是按行业、性别、年龄、教育、就业类别和职业六个特征进行交叉分类，劳动投入的增长是工作小时数和劳动质量这两者变动的总和。
乔根森根据自己的研究方法和产出投入数据对战后美国经济增长进行了研究，得出的结论是：人力资本和非人力资本投入是经济增长的主要根源，而生产率的作用却明显是次要的。1948～1979年期间，美国每年资本投入和劳动投入对于3.4%的产出增长的贡献是2.6%，也即这两项投入占产出增长的3/4还多。同期，生产率提高的贡献平均每年仅为0.81%，占产出增长率的23.68%。技术进步对经济增长的贡献率远远低于索洛和丹尼森的估算[⑨]。
五、其他关于全要素生产率的研究
与索洛、丹尼森和乔根森等人采用增长核算方法不同，还有一批研究者采用新的方法来进行生产率以及全要素生产率的研究。这些学者包括Farrell（1957）、Aigner（1977）、Charnes（1978）、Caves（1982）等。
（一）生产前沿理论
以索洛为代表的生产函数法测度全要素生产率时，假定所有生产者在技术上是充分有效地，从而将产出增长扣除要素投入贡献之后的剩余全部归结为技术进步。但是Farrell（1957）等指出，并不是每一个生产者都处在生产函数的前沿上，能够达到技术前沿的只是少数生产者，大部分生产者的效率与最优的生产效率存在着一定的差距，这种差距被定义为技术无效率。在生产函数的测算中，直接使用实际要素投入和产出数据进行生产函数的常规拟合，得到的生产函数反映的只是一定投入要素组合与平均产出量之间的关系，这种平均意义下的生产函数有悖于上产函数理论的前提。在生产函数分析过程中，应当将生产者的全要素生产率分解为前沿技术和技术效率两个部分，从而能够进一步研究生产率变化和经济增长的根源，比索洛余值方法更接近生产和经济增长的实际情况。
Farrell采用线性规划模型求解出所观测投入空间的凸边界，从而测算生产前沿函数和技术效率。通过Farrell模型的求解，就可以得到全部生产前沿面上的参数，从而确定生产前沿面。Farrell的生产前沿模型是此方面研究的最早雏形，以此为基础，生产前沿面研究形成了两个发展方向：参数方法和非参数方法。参数方法沿袭了传统的生产函数估计思想，首先根据需要构建一种具体的生产函数形式，然后通过适当的方法估计位于生产前沿面上的函数参数，从而完成前沿生产函数的构造；非参数方法绕开了参数方法中函数形式假定、参数估计有效性和合理性等诸多困扰，不用考虑生产前沿函数的具体形式，直接通过所观测的大量实际生产点数据找出位于生产前沿包络面上的相对有效点从而确定生产前沿。[⑩]
（二）随机前沿方法
Farrell提出的前沿生产模型没有考虑生产者行为的实际观测总是受随机误差扰动影响，也没有考虑到个别生产者与最有生产率的差距会受到生产过程中个中随机的因素影响，因而所建立的模型被称作确定性前沿模型。
为了弥补确定性前沿模型的缺陷，Aigner、Lovell和Schmidt（1977）以及Meeusen和Broeck（1977）在确定性前沿模型基础上引入随机扰动项，分别独立提出了随机前沿方法，以更为准确地描述生产者行为。他们得出模型的基本含义为：每个厂商生产的产量受到生产函数以及随机扰动和技术非效率的综合影响，个别厂商不能达到最优状态时因为受到随机扰动和技术非效率的影响。尽管，随机扰动和技术非效率无法直接观测，但是在假定随机扰动为白噪声的情况下，多次观测的均值应当为零，因此，个别生产者的技术效率（Technical Efficiency）可以用样本中该生产者产出的期望与随机前沿的期望的比值来确定[11][12]。
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