人口增长与中国土地制度变迁的演化博弈分析

令（）代表地主与农民在t时期所采取的策略，其中。在t时期末系统的状态是最后m次博弈的序列=（（），…，（）），在t+1期的开始，当时的行博弈方地主从的列博弈方农民的最后m次博弈的策略集（，…，）中抽取一个容量为s的样本（1≤s≤m）；同时并且独立地，当时的列博弈方农民从的行博弈方地主的最后m次博弈的策略集（，…，）中抽取一个容量为s的样本。令随机变量为行博弈方地主的样本中农民的策略所占的样本比例，设制度的演化过程受人口增长压力的持续冲击，在与日俱增的人口压力下，人们根据对其他人将在人口冲击条件下将如何行动的预期来调整自己的策略以获取最大得益。设错误率ε为一个小的正概率，在人口压力的冲击下，行博弈方地主观察到了人口日益过剩的压力，以1–ε的概率选择一个对来说的最优对策，而以概率ε忽略人口扰动的冲击从自己的策略集S₁中随机的选择一个策略，类似的规则也适用于列博弈方农民。这就定义了一个具有记忆m，样本容量s和错误率ε的土地制度随机演化博弈的马尔可夫过程。

当人口增加的速度未超过耕地增加的速度时，土地制度博弈未受到人口压力的扰动，错误率ε=0，表1的土地制度博弈中存在三个严格纳什均衡E₁=（A，A），E₂=（B，B）和E₃=（C，C）。亦即在未受人口扰动的情况下，雇工经营、租佃制和合伙制为土地制度博弈的三个吸收状态，过程以概率1收敛于E₁或E₂或E₃。

随着人口不断增加，人口与土地相对价格发生了重大变化，人口过剩的压力日益严峻，土地制度博弈的均衡也发生了重大改变。为寻找土地制度演化过程中的随机稳定均衡，我们构造一个具有3个顶点的有向图，每个顶点代表一个未受人口扰动时的均衡，设j表示对应均衡E_j的顶点（j=1，2，3）。以顶点j为根的树存在唯一一条从每一个不同于j的顶点出发经过两条有向边到达j的有向路径。一个有根树j的阻力是组成它的2个有向边的阻力之和，均衡制度E_j的随机势能r_j定义为在所有的以j为根的树中最小的阻力。当错误率ε很小且为正数时，随机演化过程将沿着具有最小随机势能的均衡状态的路径走，随机稳定均衡恰好就是那些处于具有最小随机势能的均衡上的状态。在土地制度的博弈中，要将过程推到均衡制度E_k的吸引域中，就要求有一定数量的地主或农民选择了策略k。设p^﹡为最小比例，满足如果行博弈方地主中p^﹡部分的人选择了策略k，1－p^﹡部分的人选择了策略j，则k对列博弈方农民来说就是最优策略。其中，p^﹡是p^﹡b_k=(1－p^﹡)b_j的解，亦即P^﹡=b_j／b_j+b_k。类似的，设q^﹡为最小比例，满足如果列博弈方农民中q^﹡部分的人选择了策略k而1－q^﹡部分的人选择了策略j，则k是行博弈方地主的最优策略。很显然， q^﹡=a_j／a_j+a_k。这意味着从均衡制度E_j转移到均衡E_k的最小阻力为：

r^s_jk=[sr_jk],其中，r_jk= a_j／(a_j+a_k ) ∧ b_j／(b_j+b_k)（1）

这里[x]表示大于或等于x的最小整数，x∧y表示x与y中最小者，s为样本容量。

在与日俱增的人口压力的持续冲击下，人们会很自然地根据其面临的环境对土地经营制度作出调整，以适应新的形势。在人口过剩的情况下，劳力的边际产量降到了基本维生水平以下，地主雇工经营的工资成本降到了无法降低的程度，这时地主雇工经营获利低于出租土地的收入，亦即F－ωL﹤R。同样的，在合伙制中，随着人口不断增加，为了吸收更多的劳力，农民将对土地采取更加劳力密集的耕作方法，并采取更为复杂的耕作制，这大大增加了地主监督农民的成本，也增加了确定产品分配率的协调成本，高昂的监督成本和协调成本，使得λF－C₁－C₂﹤R。对农民来说，在人口过剩的压力下，充当雇农的工资降到了只能维持其最低消费水平的程度，为了吸收过剩的人口，农民自然会选择租入土地，实行劳力密集化的家庭式经营，以容纳过剩的人口，从而得以继续生存下去。为便于运算，我们以特定的得益来重新度量表1的博弈，得到如下新的得益矩阵：

根据（1）式的计算公式，我们可以容易计算出3个均衡制度之间的阻力，图1给出了土地制度博弈中均衡之间的阻力结果(由于各个阻力包括一个相同的乘积因子s，故省略s不影响结果)：

由图1，我们求得均衡E₁的随机势能为：

r₁=min{r₃₂+r₂₁,r₂₃+r₃₁}=min{}=min{}=≈1.05

均衡E₂的随机势能为：

r₂=min{r₁₃+r₃₂,r₃₁+r₁₂}=min{}= min{}=≈0.64

均衡E₃的随机势能为：

r₃=min{r₁₂+r₂₃,r₂₁+r₁₃}=min{}=min{}=≈0.77

从中我们可以得知，均衡E₂具有最小的随机势能，即租佃制是唯一的随机稳定均衡。这意味着，当样本容量s充分大，错误率充分小时，在长期中选择租佃制的概率要远远高于选择雇工经营和合伙制的概率。也就是说，在人口压力的持续冲击下，租佃制日益盛行并不断扩张，最终将淘汰其他制度成为占主导地位的土地经营方式，整个农业走向租佃制。

四、中国土地制度博弈的制度效率比较

现在我们来考察在人口增长的压力持续冲击下，中国土地制度博弈中雇工经营制度、租佃制与合伙制之间的效率问题。在土地制度博弈中，如果博弈双方选择一种制度，使得不存在其他的制度能给双方带来更高的得益，则称该制度是有效率的，如果没有其他制度可以给一方带来至少同样高的得益而给另一方带来严格更高的得益，则称该制度是严格有效率的。设制度k的效率指数为w_k=a_k∧b_k，表示为博弈双方得益中的较小者，并设w⁺=max w_k，效率指数为w⁺的制度称为一个最大最小化制度。一个最大最小化制度有利于最不利的那一类博弈方，因为对于那类相对于自己最偏好的制度而言处境最差的人来说，没有任何其他的制度能给他们带来更高的预期得益了。图2说明了土地制度博弈中3个不同制度安排的效率指数，虚线与对角线的交点决定了效率指数，而最大最小化制度w⁺则是沿着对角线位于最远处的值。

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