| 浅谈“握手问题”的运用
论文关键词：“握手问题”,运用
问题 1 某班共有n名学生，在元旦班级联欢晚会上两两握手致意，那么他们共握手多少次？
对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他(n-1)个学生握手，可握(n-1)次手；第2个学生也分别与其他(n-1)个学生握手，可握(n-1)次手;一依此类推，第n个学生与其他(n-1)个学生握手，可握(n-1)次手，如此共有n×(n-1)次握手，显然此时每两人之间都握了两次手进行计算的.因此，按照题意，n个人每两人之间握一次手共握了  次手.这样解决问题，我们不妨称它为“握手问题”.
“握手问题”在数学上的应用。现举几例如下：
例1 已知1条直线上共有6个点，那么这条直线上共有几条线段？
分析 将6个点看作是6名学生，每两点构成一条线段，就好比是2个学生握手.而6个学生两两握手时.按照“握手问题”，共握了  次手，从而直线上5个点共构成15条线段.
例2 经过同一个端点的10条射线，这10条射线可以组成几个角？
分析 经过同一个端点的10条射线就好像10个学生,每2射线可以组成一个角，就好像是2个学生握1次手，其中n=10，按照“握手问题”，共可画  条直线.
例3 一个n边形，共有多少条对角线？n边形的所有对角线与它的各边共形成多少个三角形？
分析：从n边形的一个顶点出发有 条对角线，n个顶点共有 条对角线，但有重复的情况，故有 条对角线；n边形的所有对角线与它的各边共有 条线段，任意一条线段与另外 个顶点形成个三角形， 条线段形成 个三角形，但对于一个 来说，重复算了三次，故共形成  个三角形
问题2 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其它同学各送一张表示留念，全班共有n个人，那么全班一共送了多少张照片？
分析：送照片的时候，你送我一张，我也要送你一张。一个人送 张，n个人既全班送 张。这类问题有握手问题相似，但它不需要除以2。
下面几个例子，在使用握手问题是不用除2.
例4某列火车在甲、乙两城市间来回行驶，除甲、乙两城市外，中间还停靠7个站点，那么该列火车共需准备多少种票价？多少种车票？
分析 该题中，火车从A站点到B站点的车票与从B站点到A站点的票价是不一样的，所以按照“握手问题”考虑问题时，不需要除2，，火车在甲、乙两城市间来回行驶共有9个站。则共需准备 种车票.
例5 实验中学初一（1）班学生临时元旦，每人都互送明信片一张，现已知该班有60名同学，那么共需多少张明信片？
分析 该问题中，甲同学送给乙同学的明信片与乙同学送给甲同学的明信片不一样，因此按照“握手解法”考虑问题时，不需除以2，即该班共需60×59=3540张明信片.
问题3 甲、乙两个篮球队比赛结束后，与对方互相握手，以示友好，已知每个球队有5个队员，则他们共可握多少次手？
分析 甲球队的每个队员分别与乙球队的5个队员握手，可握5次手，而甲球队有5个队员，所以共握5×5=25次手.
引申： 如果甲球队有m个队员，乙球队有n个队员，则可握mn次手，像这样解决问题的方法，我们也称它为“握手问题”.
例6 已知由边长为1的正方形拼成如图所示的长方形ABCD，图中共有（1） 多少个矩形？ （2）图中有几个正方形？ A D
B C
分析（1）图1中AD上有5个点，可得AD上有  个线段；AB上有4个点， 可得AB上有 =6个线段.而AD上的任一 条线段与线段AB上任一线段“握手”，都会构成一个距形，所以图中
中共有mn =10×6=60个矩形.
(2)AD上线段与AB上线段“握手”时构成正方形，就要求“握手”的两条线段必须相等。如下表
线段 线段长度度
AB上条数
AD上条数
正方形个数
1
3
4
4×3=12
2
2
3
333 3×2=6
3
1
22
2 2×1=2
由表中可得“握手”12+6+2=20次，即图中共有20个正方形，
上面三种类型的题型，我们在具体应用的时候要认真分析题目，正确的选择握手解法。
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