热运动与自组织的本质——时空统计热力学

gij = Mij / M (57 )

显然，此关联度定义可以扩展到3个及3个以上更多元素（或粒子）的关联度。

此关联度定义，具普遍意义。自然界任何系统或物质，其内部组成元素之间，都存在一定的关联（相互关系）。分析考察其关联性，可以利用分类组合的方法，对以所考察的对象为元素组成的集合，进行拓扑分类分析，由此确定元素之间的关联性大小。此定义也可以用于社会科学的某些领域的定量分析，比如人类自身，人与人之间存在这样那样的关系，按图索骥，可以将全世界的人全部串联起来，人类是个“大家庭”，是个拓扑空间集合。

按此关联度定义，由同种微观粒子组成的单一热力学状态的多粒子系统，即使完全处在随机的热运动状态，由于微观粒子的不可区分性，可知Mij = M-N ，粒子之间的关联度gij =1-N/M，多粒子体系M＞＞N，关联度gij约为1。这正是第2章中所述的，即使是随机系统，粒子之间并不是“孤独的”、“完全自由的”，是“谁也离不开谁”。随机中有关联、关系组织中有自由随机，随机与关联是对立统一的。统计扩散力可以认为是热随机过程中的“有序力”，是有确定方向与大小的，即是可以确定表征的。

随机与关联的对立统一关系，在数理统计逻辑中，表现在总体有均衡量但微观不确定，个体随机运动但整体又存在统计关联。就每个微观粒子（组成单元）来讲，其运动虽说不能准确测量或定位，但其已呈现运动的逻辑关系（因果关系），是确定的；最近未来到底将呈现什么样的运动路径，是由统计逻辑与具体的物理作用共同支配，只是不能用精准解析数学关系推测计算。确定性的解析数学公式是数学逻辑，“不确定性”的统计关系也是数学逻辑，微观系统的运动规律是确定的。（爱因斯坦之所以困惑量子理论所揭示的微观世界的波粒二重性规律，是僵化了“确定性”的内涵。宏观世界的物体运动规律是确定的，微观世界的运动规律也是确定的，只是数学逻辑关系不同而已）。多粒子体系的热统计关系，不仅仅是两个粒子的热运动关联，是全体的、集合的热运动关联，是个体的随机运动与整体的统计均衡（宏观物理量表现为确定性、可测性）的统一。随机无序中存在某种有序、有序结构中存在无序，随机无序与有序组织是辩证的统一。

3.1.2 分形结构

20世纪70年代，法国数学家曼德尔布罗特(Mandelbrot，B.B.)通过对自然界大量繁杂现象的长期分析研究，提出“分形”(fractal)概念，创立了全新的数学分支——分形几何。

从多变无常的行云、曲折无规的海岸线、高低复杂的山岳地貌、纵横交错的河流分支、杂乱丛生的草木森林，到太空星云分布结构、雷暴闪电的路径、波动的浪花与漫涌的水头、树木生长与分叉形状、海底的珊瑚与溶洞的钟乳石、动植物细胞生长过程，甚至有关人类与社会的部落城市分布、人群的生长繁衍、身体器官结构、生活习惯与文化取向、商品与股票价格波动走势，等等众多形形色色、貌似无关的物质文化变化属性与形状结构，几何意义上都存在相同的形态属性，——形状结构上的自相似性，即所谓的分形结构，同类之间的相似、部分与整体的相似、过去与未来的相似，即存在大尺度与小尺度之间的对称性。曼德尔布罗特涉猎极广，能够建立分形几何绝非偶然。

自相似和迭代生成是创造分形结构的基本原则。分形结构在几何变换下具有不变性，即具有标度不变性。分形结构中的自相似性可以是完全相同即所谓有规分形；也可以是统计意义上的相似，即无规分形。有规分形结构可以通过数学方法迭代生成，如科赫曲线（Koch snowflake）、谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）等。有现实意义的是统计意义上的无规分形，如上文所列的形形色色的自然与社会现象中的自相似性，正是本节所讨论的分形结构。

分形几何的核心概念（逻辑）是分数维度，分数维是相对于1、2、3等整数维度空间（如欧式空间）而言的。本质上讲，分形结构是在维度为自然数N的几何空间，描述分数维D在N-1与N之间的分数维系统的空间几何结构，有现实意义的是在1维、2维、3维几何空间分别表征分数维在0＜D＜1、1＜D＜2、2＜D＜3范围内的随机系统的某种参量的几何形态。在相同度量单位条件下，分数维空间（集合）没有直线、平面、立方等结构，在一维直线、二维平面、三维立方几何空间内，分别对应的分数维几何形态（集合），肯定是离散的点集、曲折不相交的波折曲线或随机分叉枝节结构、参差不齐高低不平大小不同疏密不等的“云团状”或“山岳”结构。分形空间（集合）是对应整数维完备密实空间集合的一个不连续（不密实、“中空的”）拓扑子空间集。（参考：宋太伟，《大系统随机波动理论》，《分形理论与波动理论研究》）

下面重点分析分形结构与随机系统统计关联的关系。复杂随机系统中单元（粒子）之间的统计关联，是基本的统计逻辑；这种大系统中基本单元（粒子）之间的相关性，包括个体之间、个体与集体之间、集体与集体之间的关联性，存在并作用于随机系统的各个层面，与分析对象（或称拓扑子集）的大小范围无关，具有几何意义上的标度不变性，这实际上即是自相似性。用时空拓扑语言描述，即是系统组成粒子的时空结构形态集合对应的拓扑空间（，A t ）的拓扑子集都存在这种关联性，拓扑空间子集的拓扑变换(时空变换)不改变这种统计关联性，拓扑集簇中的子集之间存在相互关联的“相似性”。如果将拓扑集簇用几何语言（逻辑）来描述，即为具备某一物理属性的分形结构。随机统计系统的运动变化，可以用合适的分形几何来表征，一定的分形结构与对应的随机系统的统计关联是等价的。为了突出这一具有普遍性意义的结论，将其作为定理6。

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