论文摘要：采用Runge–Kutta法和多尺度法对轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的非线性振动特性进行了研究。首先根据层合壳理论建立轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的波动方程，利用Galerkin法对方程进行离散，得到相互耦合模态方程组。然后应用Runge –Kutta法分析了不同参数条件下的幅频特性曲线，得到了系统由于固有频率接近所导致的内共振现象，以及系统呈现软特性等非线性特性。最后采用多尺度法进行了系统1:1内共振时的近似解析分析，对系统在不同参数下的振动研究表明，激振力幅值、阻尼、速度等参数对位移响应幅值、共振区间、模态间的耦合度及系统软特性程度均有影响，其结论与数值计算结果一致，并同时对解的稳定性进行了研究。
论文关键词：法,多尺度法,分层,内共振,稳定性
复合材料薄壁圆柱壳具有比强度高、比刚度大、材料性能可设计性等诸多材料优点及良好的几何特性，这些特点使其在航空、航天、船舶等领域中得到越来越广泛的应用。飞机副油箱在运动中的振动，可以看作轴向运动复合材料壳体动力学问题的典型例子，相关方面的研究在近些年受到各国学者的普遍关注。F.Moussaoui和R.Benamar对壳类结构的非线性振动问题进行了综述性的研究，指出了前人研究过程中存在的问题，对后来的研究者提出了建议。C.H.Riedel用多尺度法研究了轴向运动梁的内共振问题，并用一次近似理论判断其稳定性；陈树辉、黄建亮用多元L-P法研究了轴向运动梁的非线性振动和内共振；Argento和Scott采用摄动法对轴向载荷作用下的层合圆柱壳动力稳定性进行了研究。
与单一组分圆柱壳相比，复合材料因其具有各向异性、非均匀性，几何及物理非线性，动态弹性参数等特点而使问题研究变得更加复杂。本文主要研究受外部激励的悬臂复合材料薄壁圆柱壳，沿轴向作匀速运动时的内共振问题。其中，考虑了几何大变形引起的几何非线性、轴向运动产生的科氏惯性力所引起的运动学非线性、动态弹性模量以及阻尼的影响。同时，多尺度法也被引入研究轴向运动复合材料圆柱壳的内共振问题。
1基本方程
考虑轴向运动复合材料薄壁圆柱壳模型如图1(a)所示，过x轴作一纵向截面，截得圆柱壳的截面分层如图1(b)所示。其中E18#为玻璃钢纤维布，USN1000为碳素布，中间粘层为环氧树脂。
(a)整体示意图
(a)Wholeschematicdiagram
 
(b)截面分层图
(b)Slicemapforcross-section
图1轴向运动复合材料薄壁圆柱壳示意图
Fig.1Modelofcompositecircularcylindricalshellmovinginthex-direction
模型的几何和物理参数为：长度 ，半径 ，各层坐标 ， ， 0，玻璃钢密度 ，波松比 ；碳素密度 ，波松比 。层合壳的几何方程为
其中，下划线表示几何非线性项。该式根据Donnell’s假定，忽略了中面位移对曲率和扭率的影响。层合壳物理方程为
其中，在计算刚度系数时，每层复合材料的弹性模量均为动态弹性模量，是关于振动频率f的函数。
根据Donnell’s假定，并考虑几何及物理方程，经整理后，可得到轴向运动分层复合材料薄壁圆柱壳的波动方程
 0
 为外激振力， 表示非线性项
式中 和 为激振力振幅和频率， 和 为外激振力作用位置。从方程中可以看出，由于轴向速度 的影响，惯性力已经变为三项 ， 和 ，分别由牵连加速度、相对加速度和科氏加速度引起。
采用 法把非线性波动方程离散化。由文献可知，轴向模态对非线性振动特性影响较大,同时，本文研究内共振问题，故选取前两阶轴向双模态来分析复合材料圆柱壳的动力学行为。设方程的解为
其中， 为薄壁圆柱壳的轴向振型函数， 和 为广义模态变量。由于本文采用了Donnell’s假定，故将环向波数取为6。将式代入方程后，两边分别对 或 正交化，整理可得四个关于 、 、 和 的相互耦合的模态方程组。联立求解该模态方程组（归一化处理），使每个方程只含一个二阶导数
其中， 和 是与激振力幅值 、速度和阻尼系数 （两阶模态的阻尼比分别为 和 ）等参数有关的变量（见附录）， 。
2数值解
本文应用四阶Runge-Kutta法求解前面得到的归一化模态方程组。给定频率计算得到、、、某段时间内的稳定值，将其代人式求出定点位移，并依此画出幅频特性曲线。
在求解过程中，先取~和 ~ 均为零，得到零初值幅频特性曲线（见图2）。再改变位移的初值条件，得到完整的幅频特性曲线（见图3）。其中，激振力振幅 ，阻尼 ，轴向运动速度 。
图中曲线出现了跳跃并表明了内共振现象的存在。与零初始条件相比，完整幅频特性曲线在多值区的非线性更为明显，出现了新的曲线，系统表现出明显软特性。同时， 和 的幅频特性曲线重合（见图4）， 和 与此情况相同（图略），由此可得到 ， 的关系，在下面的多尺度法求解中应用了这个关系。
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