 （11）
其中 和 分别表示位移和速度增益系数。
将 沿y方向用Fourier级数展开，并将电压表达式代入（10）式后可得：
 （12）
式中， ， 为的Fourier展开系数。
对于有一对边简支（沿x轴方向）的矩形板，也可将位移和内力分量沿y轴展开为Fourier级数，将（9）式和（12）式代入矩形薄板的平衡方程、几何方程和物理方程，经整理并无量纲化后可导出指定波数n下压电层的一阶控制方程：
 （13）
式中，上标（3）表示约束层， ， 为方程的无量纲状态向量。其中， ， ，  ， 为任意长度， 为板的薄膜刚度。为了简化书写，推导中省略了上标 .  为系数矩阵，各元素表达式见附录。 ，  和 分别表示外激励和层间作用力的幅值， ，  .
同理可求出基板的一阶控制方程：
 （14）
其中，无量纲状态向量为 ，载荷向量为 ，将基板的几何和物理参数代入 的表达式即可求出约束层的系数矩阵 .
由于（13）和（14）式中的层间作用力未知，方程不能直接求解，本文利用粘弹性层的位移连续性条件和法向平衡方程解决这一问题，进而得出ACLD板的整体控制方程。
1.3 ACLD板的整合一阶状态方程
对于粘弹性层，仅考虑它的剪切变形，根据一阶剪切变形理论和层间连续条件，并结合胡克定律可求出粘弹性层中面的剪应力的幅值：
（15）
式中， 表示粘弹性层的剪切模量， 分别表示基板、粘弹性层和约束层的厚度。因此，（13）和（14）式中切向的层间作用力可写为：
 （16）
由图2可知，粘弹性层中面的剪应力还会在压电约束层和基板中面产生偏心力矩，将该力矩转化为法线方向的克希霍夫等效剪力：
 （17）
式中， 分别表示基板和约束层中面到粘弹性层中面的偏心距，  .
由图3可求出粘弹性层的法向平衡方程：
 （18）
其中， 为粘弹性层的密度。
将载荷表达式代入（13）和（14）式，并利用（18）式消去层间的法向相互作用力 ，经整理后可求出ACLD板的12阶状态方程，与进行Fourier展开和无量纲化后的（8）式联立，最终可导出ACLD板的整合一阶状态方程：
 （19）
式中，系数矩阵 为14阶方阵，各元素的具体表达式详见附录。 为整合的状态向量，  为外载荷向量， 为广义的单位压电作动力向量。
2 数值计算方法
2.1耦合方程的求解
由于在非齐次项中包含了反馈点的位移 ，（19）式为耦合方程，直接求解非常困难。但是，外载荷向量 和单位压电作动力向量 的数值是已知的，它们单独作用时的状态方程可以用齐次扩容精细积分法[9]解出。因此，根据叠加原理，任意点的位移可以表示为：
 （20）
式中物理论文， 分别表示由 单独作用在点 处所引起的位移。令 ，代入（20）式后即可求出反馈点的位移：
 （21）
将求出的代入（19）式，再次利用齐次扩容精细积分法即可求出各点的状态向量。
自由振动时外载荷为零，（19）式变为一阶齐次常微分矩阵方程，利用精细积分法可求出起点和终点状态向量之间的关系：
 （22）
式中， 为 阶传递矩阵。通常，在边界 和 上分别存在7个已知的边界条件和7个未知的边界条件，代入（22）式经移项整理后可得：
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