论文导读：通过矩阵的相似变换给出(4)式的证明。本文针对一个链式结构的质量弹簧振动系统。证明了一个关于其固有频率的猜想。讨论了该振动系统(3)的特征模态。
关键词：质量弹簧振动系统，固有频率，相似变换，特征模态
1 引言
 在工程技术应用中，经常出现保守的多自由度的线性质量弹簧系统（如图1所示），相关研究也有很多[2]。Mikota[1]给出了一个振动系统，允许以基本频率的整数倍去精确设置固有频率：  。这可以通过下列方式选择质量和弹簧刚度来实现： 图1 链式结构的质点弹簧振动系统
 ， ，  。科技论文。（1）
用位移向量的记号 ，质量和弹簧刚度为
 ，  .（2）
其中  ，  ，
链式结构的质点弹簧振动系统运动方程由下式给出
 .（3）
尽管对于(3)类型的振动方程已经有了许多结果[2]，但还是没有证明Mikota[1]给出的关于固有频率关系的猜想：
 ，  ， .（4）
下面将借助一个矩阵方程，通过矩阵的相似变换给出(4)式的证明，并讨论相关矩阵的特征值与特征向量。
2 特征值问题
为了确定振动问题(3)的固有频率和特征模态，引入一个相关的特征值问题。定义
 ，并作固有模态的变换 ，则(3)式变形为
 （5）
令 ， ， 则(5)式恰好对应于经典的特征值问题 . 这里 和 由(2)式确定，的具体表达式为：
 . （6）
以下分两个步骤讨论。首先将 作两对角化得出(4)式的证明，再将所得结果进一步对角化得出振动系统(3)的特征模态。
2.1 的两对角化
通过相似变换，矩阵可变换为两对角的形式：
 ,(7)
其中
 ，
 ，  ， ，
 ，  . (8)
施行如上相似变换 后，矩阵从左上角元素开始逐步地变换为两对角阵的形式 .通过计算可得
 ， 
 ，  (9)
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