| 无限与有限的化归思维过程
1、函数极限与无穷小之间的转换：  其中
2、无穷级数和与有限部分和的极限：
无穷级数求和 在数学上，为了达到不确定的、无限的东西，必须从确定的、有限的东西出发。为了计算上式无限和，先计算有限项的和：令 。若 ，S是个有限数，则S就定义了无穷级数的和，其和是由部分和（有限和）开始，然后求极限而得到的。实际上，
每个 都是有限的数，是一个界限，但又是可以超越的界限，最后达到的“无限”是一个不能“超越”的界限，是一个“超越仍然是自身的东西”。
例 求数项级数 的和.[见参考书13p378页]
解:令 则:
 .(1)
根据莱布尼兹判别法知级数(1)收敛,假设其和为S,再令幂级数s(x)为
 (2) 于是可求得收敛区间为(-1,1]再由阿贝耳定理知:
 但s(0)=0,所以 (3)
 (4)
将(4)代入(3)得:
 
3、数学归纳法
要实现对无穷多个命题正确性的证明，要一个一个地证将永世证不完竭，一般是通过数学归纳法来通过有限把握无限，来实现对无穷多个命题正确性的证明，数学归纳法的实质，是人们用有限来认识无限的一种方法。
例 证明数列
 收敛，并求它的极限。
容易观察，该题要运用单调有界原理，为证明其单调性与有界性，我们只要用数学归纳法即可。
解：令
首先证明数列 ，从而 ，故由数学归纳法，对一切 ，都有 ，即数列 递增。
其次证明数列有上界：显然  ，假设 ，则 ，故由数学归纳法，对一切，都有 即数列有上界
根据单调有界原理，数列收敛。设 ，则也有 ，由 有 ，在两边令 去极限，得 ，取正根得 ，故
三、数与形的转化
“数无形时少直觉，形少数时难入微。”
数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，而通常某一对象的数和形又是相互联系和转化的。因此，研究问题时，我们可以把其数量关系和空间形式结合起来考察，通过相互转化达到化繁为简，化难为易的目的。
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