设 为含于 的另外一个使 的数列，如上所证， 存在，记为  ，现证
为此，考察数列  ，易见 且 。仍如上所证，  也收敛。于是作为的两个子列 ， 必有相同的极限。故由归结原则得： 。
2、极限与级数之间的转化。
（1）、证明数列的极限为0，化归为级数收敛的必要条件。
例 证明
分析：将本题转化为讨论级数 的收敛性，由正项级数的比值判别法可知，此级数收敛，故由级数收敛的必要条件得证。
（2）、求极限转化为级数。
例 求极限 [此题为北京大学1998年研究生入学考试试题]
解:记
又  收敛,故 在[0,1]上一致收敛.显然 在[0,1]上连续,故有 在[0,1]上连续.所以
例 求极限
分析：此极限为错项级数的前n项和。并且我们知道f(x)=Ln（1+x）的泰勒展开式与此式较为接近，可以用该级数解决此问题。[此题为云师大1999年研究生入学考试试题.]
解：因为函数f(x)=lnx在x=1时的泰勒展开式为:
所以
当x=1时: 
所以原极限为:=ln(1+1)=ln2.
3、极限转化为定积分。
定积分是一种特殊的极限，这种极限不同于数列极限，也不同于函数极限。它是一种复杂的和式的极限，对于体现自变过程的变量 的每一个值，不仅区间[a,b]的分法有无穷多种，而且对每一种分法，介点 也有无穷多种取法，因而相应的和式 一般都有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上相同之处，即当无限变小时，相应的一切和式与某一定数I的距离： 能够变得并且保持任意的小。[见参考书4p42]
例 求 .
分析：此题为求有限和的极限，通过恒等变形，可以转化为定积分来求。
解：设 =
故 。利用定积分定义，得：
 。
所以原极限为：
二、有限与无限之间的转化：
有限与无限是对立的统一，在数学分析中，我们往往通过有限来认识无限，也通过无限来确定有限。数学分析的基本思想方法——极限法，就是借助有限来认识无限的典型方法。通过有限认识、确定、证明无限的思维过程如图所示：
2/5 首页 上一页 1 2 3 4 5 下一页 尾页 |
