，因此是上的对称双线型。
（2），
（3），，则
定理2.2设为上的理想，定义则是的理想。
证明：首先证明是线性子空间，对
+=，则可以推出
+
则。=，则。
，则，则是线性子空间。
下面证明是的理想，，，有，而，又，故，因此 ，因此是的理想。
定理2.3设是的理想，，以表示-Killing型，则，，。
证明：首先条件可得，，下证，在中取基，使得是的基，则，，…，…是的基，，，…是的基，若，则，于是的矩阵为
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=
=
，因此
是
上的
对称双线型。
，
，
，则
为
理想，定义
则
是
+
=
，则可以推出
+
。
=
，则
。
，则
，则
，
，有
，
而
，又
，故
，因此 
，因此
，以
表示
-Killing型，则
，
，
。
，使得
是
，
，…
，
…
是
，则
，于是
的矩阵为