故 ，则 ，证毕。
定义2.2 李代数是半单李代数，当且仅当 没有非零交换理想。
定义2.3李代数是单李代数，当且仅当是半单李代数，且没有非平凡的 理想。
引理2.7李代数对下面条件等价(1) 是半单李代数；
(2)不包括非零的可解理想；(3)不包括非零的幂零理想。
证明：1) 2)因为为半单李代数，则没有非零交换理想。
设 为的可解理想，则也是的可解理想，则 ( )为的理想，若 ，则有 ，使 ， = ，且 为理想，因此 为g的非零交换理想，这与是半单理想矛盾，故由1)可推出条件2)。
2)3)因为幂零李代数是可解李代数，因此幂零李代数是可解李代数，若包括非零的幂零理想，则包括非零的可解理想，这与2)矛盾，因此由2)可以推出3)。
3)1)因为交换李代数是幂零李代数，故若不为半单，则为非零交换理想，这与3)矛盾，因此3)可推出1)。
定理2.8设是域 上有限维李代数，的 -Killing型非退化，即 =，则(1)是半单李代数；(2)对的任一理想 有分解 。
证明：(1)由引理2.5的结论(1)知，若 的幂零理想，则 ，即=，又由定理2.7知，若不包括非零的幂零理想，则为半单，得证。
(2)设的理想，由引理2.5的结论(3)知 =，故 为的交换理想。又由引理2.5结论(1)知 =，则由引理2.5结论(4)知
参考文献：
[1]Z.X.Wan, Lie Algebras(in Chinese), Science Press, 1964.
[2]J.E.Humphreys, Introduction to Lie Algebras andRepresentation Theory, Springer-Verlag New York Inc., 1972.
[3]Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge studiesin Advanced Math. Vol. 8, Cambridge UP, 1989.
[4]L.S.Zhu, D. J.Meng, Solvable complete Lie algebras Ⅱ, Algebra Colloquium,5(1998), 289-296.
[5]Liangyun Chen and Daoji Meng, On p-solvable restrictedLie superalgebras, Acta Sci.Natur.NanKai Univ., 2(2004), 74-81.
[6] Liangyun Chen, Daoji Meng and Bin Ren, On quasi-toralrerstricted Lie algebras, Chinese Ann. Math., Ser B, 26B:2(2005), 207-218.
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